Chapter.6.Scattering 令 2=2uE 方2， V(F)= 24U) 方程(4)改写为： Vw+[k2-V()w=0 (5) 由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看， 可以认为r→og因此，在计算g(0,p)时，仅需考虑r→0 处的散射粒子的行为，即仅需考虑r→∞处的散射体系 的波函数。 在·→0处，散射粒子的波函数是入射平面波 1=e和球面散射波山2之和。即 w() →4e+f0,) (6) 6
6 Chapter.6 .Scattering ( ) 2 , ( ) 2 2 2 2 V r U r E k = K = μ = μ 令 = 方程(4)改写为: [ ( )] 0 2 2 ∇ ψ + k −V r ψ = K （5） 由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看， 可以认为 ,因此,在计算 时， 仅需考虑 处的散射粒子的行为,即仅需考虑 处的散射体系 的波函数。 r →∞ r →∞ q(θ,ϕ) r →∞ 在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即 r →∞ 1 ikz ψ = e ψ 2 ( ) ( , ) （6） ikr ikz e r Ae f r ψ + θ ϕ K r → ∞
Chapter.6.Scattering 为方便起见，取入射平面波e的系数A=1,这表 明|42=1，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。 入射波几率密度（即入射粒子流密度）： 2 =流（-ik,wi-ikviv） 2W 方k =)=W (7) 散射波的几率流密度： J, (8) 2u
7 Chapter.6 . Scattering 入射波几率密度(即入射粒子流密度): 为方便起见，取入射平面波 的系数A=1 ,这表 明 | | 1 ，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。 2 ψ1 = ikx e * 1 1 * * * 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 z i i J i k i k z z k N ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ μ μ υ μ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ = − − ∂ ∂ ⎝ ⎠ = = = = = = （7） 散射波的几率流密度: 2 2 * 2 2 * 2 2 | ( , )| 2 θ ϕ ψ υ ψ ψ ψ μ f r r r i Jr =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = （8）
Chapter.6.Scattering 单位时间内，在沿(0，p)方向d2立体角内出现的粒子数为： dn=J,dsAf(0,)d-f(0.p)P Nd (9) 比较(1)式与(9)，得到： q(0,p)=f(0,p)12 (10) 因此，若知道了f0,p),即可求得q(0,p),f0,p)称 为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率，给 定，于是，入射粒子流密度v 给定，只要知道了散射振 幅f(8,p),也就能求出微分散射截面 fg,m的具体形式通过求Schrδdinger方程(5)的解并要求在 下→o时具有渐近形式(6)而得出。 下面介绍求散射截面的两种方法：分波法与玻恩近似方法： 8
8 Chapter.6 .Scattering 单位时间内,在沿 (θ ,ϕ)方向dΩ立体角内出现的粒子数为: 2 2 2 | ( , )| | ( , )| r dn J ds f ds f Nd r υ = = = θ ϕ θ ϕ 2 q(θ ,ϕ) =| f (θ ,ϕ) | Ω （9） 比较(1)式与(9),得到: （10） 因此，若知道了 ，即可求得 ， 称 为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率 给 定，于是，入射粒子流密度 给定，只要知道了散射振 幅 ，也就能求出微分散射截面 q( , θ ϕ) f ( , θ ϕ) f( , θ ϕ) f( , θ ϕ) v N v = 的具体形式通过求Schrödinger方程(5)的解并要求在 时具有渐近形式(6)而得出。 f( , θ ϕ) r →∞ 下面介绍求散射截面的两种方法:分波法与玻恩近似方法:
Chapter.6.Scattering §6.2中心力场中的弹性散射（分波法） 分波法可以准确地求散射问题。 讨论粒子在中心力场中的散射： 粒子在辏力场中的势能为U()，状态方程 w+[k2-V(r)lw=0 (2-1) 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z,显然 Ψ与φ无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒 子，方程(2-1)的特解为Rr)Ym(0,p) 由于现在Ψ与φ无关(m=0)，所以，方程(1)的特解可写成： (弹性散射能量E及n不变) R(r)P(cosθ)
9 Chapter.6 .Scattering 2 2 ∇ ψ ψ + − [ ( k V r)] = 0 讨论粒子在中心力场中的散射： (2-1) 粒子在辏力场中的势能为 U(r) ，状态方程 K 分波法可以准确地求散射问题。 §6.2中心力场中的弹性散射(分波法) 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴 z，显然 ψ与ϕ无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒 子，方程（2-1）的特解为 ( ) ( , ) R r l l Ym θ ϕ 由于现在ψ与ϕ无关(m=0)，所以,方程(1)的特解可写成: (弹性散射能量E及n不变) ( ) (cos ) R r l l P θ
Chapter.6.Scattering 方程(3-1)的通解为所有特解的线性迭加 ,0)=∑Rr)P(cos) (2-2) R()为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， R(r)P(c0s称为第1个分波，通常称1=1,2,3，.的分波各 为s,p,山，f.分波. (2-2)代入(2-1)，得径向方程： {路+-w-w=0 (2-3) R,(r)=4,(r)/r代入上方程： 产-4o=0 (2-4)
10 Chapter.6 . Scattering 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加 ( , ) ( ) ( c o s ) l l l ψ r R θ θ = ∑ r P （2-2） 为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第 l 个分波，通常称 l =1, 2, 3, .的分波各 为 s, p, d, f.分波. ( ) (cosθ) l Pl R r ( ) Rl r (2-2)代入(2-1),得径向方程: 2 2 2 2 1 ( 1 ) ( ) ( ) 0 l l d l dR l r k V r R r r r dr dr ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ + + − − = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ （2-3） 2 2 2 2 ( 1 ) ( ) ( ) 0 l l d u l l k V r u r dr r ⎡ ⎤ + + − − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 令 ( ) ( ) R r l l = u r r 代入上方程: （2-4）