根据牛顿第二定律： T2 cosa,-T cosa =0 8u 其中p为线密度 T2sina:-T sina=pds 8t2 由于是微振动：&1≈0，a2≈0， cosa,≈1，c0sa,≈1，sina1≈ga1=2 Bu x sina2≈gc2= 且d≈d T,-T=0 x+dx →T,=T=T T x+dx Ox\x+d 泰勒展开
11 由于是微振动： 1 2 0, 0, 1 2 1 1 2 2 cos 1, cos 1, sin , sin x x dx u u tg tg x x + = = 且ds dx T T T 2 1 = = 2 2 x dx x u u u T dx x x t + − = ( ) 2 2 2 1 1 1! 2! x dx x u u u u dx dx x x x x x x + = + + + 根据牛顿第二定律： 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 cos cos 0 sin sin T T u T T ds t − = − = 其中为线密度 2 1 2 2 1 2 0 x dx x T T u u u T T dx x x t + − = − = 泰勒展开
略去二阶以上小量： O"u Ou TO'u =0 Pax2 2 8"u 弦的自由横 =0 振动方程 或写成：um-ux=0 受迫振动情况： 4(x,) Fdx 力密度F心，)：单位长度的弦所受的横 (2 向外力 ds du 2 ax -7器-ra=a dx +d 女+r=a器 'u
12 略去二阶以上小量： 2 2 2 2 u u T dx dx x t = 2 2 2 2 0 u T u t x − = 2 2 2 2 2 0, u u a t x − = 令 T a = 0 2 或写成： u - a u = tt xx 受迫振动情况： 1 2 dx ds du T1 T2 x u x t ( , ) x u x dx u + Fdx 力密度F (x,t)：单位长度的弦所受的横 向外力. ( ) 2 2 1 2 , x dx x u u u T T F x t dx dx x x t + − + = ( ) 2 2 2 2 , u u T dx F x t dx dx x t + = 弦的自由横 振动方程
Ou TOu F(x,t） 单位质量的 8t2 pox2 弦所受的横 O'u TO'u 向外力 Ot2 pOx? =/(x),了(x）=F(x 若弦是重弦，其振动方程如何写？ 二、杆的纵振动方程 几个条件： >均匀细杆：p、S(横截面积)为常数，可作一维处理； >水平放置：重力不影响杆的纵振动，杆不受纵向外力的作用； >微小振动：忽略p、S的变化； >纵振动：杆上各点的振动方向平行于振动的传播方向。 13
13 ( ) 2 2 2 2 u T u F x t, t x − = ( ) 2 2 2 2 , , u T u f x t t x − = ( ) ( , ) , F x t f x t = 单位质量的 弦所受的横 向外力 二、杆的纵振动方程 几个条件： ➢ 均匀细杆：ρ、S（横截面积）为常数，可作一维处理； ➢ 水平放置：重力不影响杆的纵振动，杆不受纵向外力的作用； ➢ 微小振动：忽略ρ、S的变化； ➢ 纵振动： 杆上各点的振动方向平行于振动的传播方向。 若弦是重弦，其振动方程如何写？
胡克定律： 法向力 x+dx 相对伸长 2 Y杨氏模量 △M f=YS 杆原长： (c+&)-x=d 形变后的长度：(x++4）一(x+四)=+(4a-叫：) ++小+袋 Bu 绝对伸长 (+0- dx 相对伸长： Ou dx x 14
14 x u x dx u + u u o o x x dx + x 1 f 2 f 胡克定律： n l f l S 相对伸长 法向力 1 n n l f f a l S Y S = = Y: 杨氏模量 杆原长： ( x dx x dx + − = ) 形变后的长度： ( ) ( ) ( ) x dx x x dx x x dx u x u dx u u + + + + − + = + − 1 1! x x u u dx u dx u dx dx x x = + + + − + 绝对伸长： u u dx dx dx dx x x + − = n l f YS l = 相对伸长： u dx x u dx x =