几个数学符号： 哈密顿算符 o" 拉普拉斯算符 △=V.V= 梯度 V0= Ox OA, oA. 散度 V.A= Ox By Oz 旋度又xA= a a4y+是 4- 4-4)i A A A
6 几个数学符号： 哈密顿算符 拉普拉斯算符 梯度 散度 旋度 i j k x y z = + + i j k x y z = + + 2 2 2 2 2 2 x y z = = + + x y z A A A A x y z = + + ( ) ( ) ( ) z z y y x x x y z i j k A A A A A i j k x y z y z z x x y A A A = = − + − + −
2、输运方程（热传导、扩散方程） 8t -2△u=0,其中=(x,y,z,t） 是描述输运（趋向平衡）过程的偏微分方程。例如它恰当地 描述粒子扩散、热传导等的过程。 3、稳定场方程（静电场方程） △M=- P 泊松方程 8。 △L=0 (p=0拉普拉斯方程 是描述物理中的稳定（或平衡状态）过程的偏微分方程。例如 它可以很好地描述重力场、静电场、静磁场、稳恒场的速度势 等的规律
7 2、输运方程 （热传导、扩散方程） 2 0, u a u t − = 其中 u u x y z t = ( , , , ) 3、稳定场方程 （静电场方程） o u = − 泊松方程 （ = = u 0 0 ） 拉普拉斯方程 是描述物理中的稳定（或平衡状态）过程的偏微分方程。例如 它可以很好地描述重力场、静电场、静磁场、稳恒场的速度势 等的规律。 是描述输运（趋向平衡）过程的偏微分方程。例如它恰当地 描述粒子扩散、热传导等的过程
可以看到：当山是多元函数时，其运动方程为偏微 分方程。 物理规律支配物理过程的共性，导出形式相同的泛 定方程（数学物理方程）；固有条件规定物理过程 的个性，由边初条件（定解条件）的不同，它们的 解不同。 数理方程的定解问题：研究某个受物理规律支配和 系统的边初条件已知的过程的运动变化情形。 数理方程的定解问题应当是泛定方程加上定解条件 (边初条件)
8 可以看到：当u是多元函数时，其运动方程为偏微 分方程。 物理规律支配物理过程的共性，导出形式相同的泛 定方程（数学物理方程）；固有条件规定物理过程 的个性，由边初条件（定解条件）的不同，它们的 解不同。 数理方程的定解问题：研究某个受物理规律支配和 系统的边初条件已知的过程的运动变化情形。 数理方程的定解问题应当是泛定方程加上定解条件 （边初条件）
§7.2数学物理方程的导出 泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。 微元法：先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的 一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的 支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。 一、 弦的横振动方程 几个条件： >均匀细绳：p为常数，作为一维空间来处理 (细绳)； >轻绳：忽略重力影响； >柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线 方向； >微小振动：弦切线与x轴夹角α≈0或π； >横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向
9 §7.2 数学物理方程的导出 泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。 微元法：先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的 一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的 支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。 一、弦的横振动方程 几个条件： ➢ 均匀细绳：ρ为常数，作为一维空间来处理（细绳）； ➢ 轻绳：忽略重力影响； ➢ 柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线 方向； ➢ 微小振动：弦切线与x轴夹角α≈0或； ➢ 横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向
设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平 u(x,) 面振动. y+(=(+ x+dr ds du (ar d X 2! 利用牛顿二项式定理 忽略二阶小量： =1>k≈dk 弦长： A=∫≈∫k=Ax
10 1 2 dx ds du T1 T2 x u x t ( , ) x u x dx u + 设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平 面振动. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 u ds dx du dx dx x = + = + 2 1 u dx x = + ( ) 2 2 4 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1 1! 2! u u u x x x − + = + + + 忽略二阶小量： 2 1 1 u x + = ds dx 弦长： x x x x x x s ds dx x + + = = 利用牛顿二项式定理