利用归纳法解得 液 B(t)e-xi(At)n =P(N(t)=n): n! 反过来，证明Poisson过程满足条件(1)'~(4)'，只需验证 条件(3)，(4)'成立 12/47 GoBack FullScreen Close Quit
12/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit |^8B{) Pn(t) = e −λt(λt) n n! = P(N(t) = n). áL5ßy²PoissonLߘv^á(1)0 ∼ (4)0 ßêIy ^á(3)0 , (4)0§·
由定义中第三个条件可得 P(N(t+h)-N(t)=1)=P(N(h)-N(0)=1) =e-MhAh -M∑- 1! n! n=0 =λh[1-λh+o(h)] =入h+o(h) 13/47 P(N(t+h)-N(t)≥2)=P(N(h)-N(O)≥2) =∑eM-h)” n! n=2 o(h). 例3.1.3事件A的发生形成强度为入的Poisson过程 {N(t),t≥0}.如果每次事件发生时以概率p能够被记 GoBack 录下来，并以M(t)表示到t时刻被记录下来的事件总数，则 FullScreen Close Quit
13/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit d½¬•1ná^áå P(N(t + h) − N(t) = 1) = P(N(h) − N(0) = 1) = e −λhλh 1! = λhX ∞ n=0 (−λh) n n! = λh[1 − λh + o(h)] = λh + o(h) P(N(t + h) − N(t) ≥ 2) = P(N(h) − N(0) ≥ 2) = X ∞ n=2 e −λh(−λh) n n! = o(h). ~ 3.1.3 ØáAu)/§r›èλPoissonLß {N(t), t ≥ 0}. XJzgØáu)û±V«pU P ¹e5ßø±M(t)L´tûèP¹e5ØáoÍ,K
{M(t),t≥0}是一个强度为λp的Poisson过程. 花 事实上，由于每次事件发生时，对它的记录和不记 录都与其他的事件能否被记录独立，而且事件发生服 从Poisson分布.所以M(t)也是具有平稳独立增量的，故只 需验证M(t)服从均值为入pt的Poisson分布.即对t>0,有 PM(=m）=At"eM m! 14/47 GoBack FullScreen Close Quit
14/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit {M(t), t ≥ 0}¥òár›èλpPoissonLß. Ø¢˛ßduzgØáu)ûßÈßP¹⁄ÿP ¹—ÜŸ¶ØáUƒP¹’·ß ÖØáu)— lPoisson©Ÿ. §± M(t)襉k²’·O˛ßê IyM(t)—l˛äèλptPoisson©Ÿ. =Èt > 0, k P(M(t) = m) = (λpt) m m! e −λpt
由于 液 P(M(t)=m) =∑∑P(M(t)=mlN(t)=m+n)·P(N(d)=m+n) n=0 =∑C1-pr. 0 e n=0 (m+n) 15/47 e∑9 (Xpt)"(X(1-p)t)m mIn! n=0 e-xi(Xpt)m m! a19 n! n=0 =e-auAp）严eA1-pe=-m (Apt)" m! m! 例3.1.4若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度 GoBack FullScreen Close Quit
15/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit du P(M(t) = m) = X ∞ n=0 P(M(t) = m|N(t) = m + n) · P(N(t) = m + n) = X ∞ n=0 C m m+np m(1 − p) n · (λt) m+n (m + n)!e −λt = e −λtX ∞ n=0 (λpt) m(λ(1 − p)t) n m!n! = e −λt(λpt) m m! X ∞ n=0 (λ(1 − p)t) n n! = e −λt(λpt) m m! e λ(1−p)t = e −λpt(λpt) m m! . ~ 3.1.4 ez^ό͗lPoisson©Ÿßr›
为入，而每个卵变为成虫的概率为，且个卵是否变为成虫彼 此间没有关系，求每条蚕养活k只小蚕的概率 解由上例我们立即知道小蚕数服从强度为入p的Poisson分 布，故所求概率为 （pt'eaot k！ 例3.1.5观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分 16/47 布，其参数为入V,这里V是被观察区域的体积.若每个星球 上有生命存在的概率为P,则在体积为V的宇宙空间中有生 命存在的星球数服从参数为入pV的Poisson分布. GoBack FullScreen Close Quit
16/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit èλß záŒC解V«èpßÖጥƒC解* dmvk'X߶z^ϹkêÏV«. ) d˛~·Ç·=ÏÍ—lr›èλpPoisson© Ÿß§¶V«è (λpt) k k! e −λpt ~ 3.1.5 * ]L²ßUò•(NÍ—lPoisson© ŸßŸÎÍèλV ߢpV ¥* ´çN».ezá(• ˛k)·3V«èpßK3N»èV âªòm•k) ·3(•Í—lÎÍèλpV Poisson©Ÿ.