y 近Poisson分布时的假定！ Poisson过程的另一等价定义： 定义3.1.3设{N(t),t≥0是一个计数过程，若满足 (1)'N(0)=0: (2)'过程有平稳独立增量； (3)存在入>0，当h↓0时 7/47 P(N(t+h)-N(t)=1)=λh+o(h); (4)′当h↓0时， P(N(t+h)-N(t)2)=o(h). 则称{N(t),t≥0为Poisson过程. 事实上，把[0，划分为个相等的时间区间，则由条 GoBack 件(4)'可知，当→∞时，在每个小区间内事件发生两 FullScreen Close Quit
7/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit CPoisson©Ÿûb½. PoissonLß,ò d½¬: ½¬ 3.1.3 {N(t), t ≥ 0}¥òáOÍLßße˜v (1)0 N(0) = 0¶ (2)0 Lßk²’·O˛¶ (3)0 3λ > 0, h ↓ 0û P(N(t + h) − N(t) = 1) = λh + o(h); (4)0 h ↓ 0ûß P(N(t + h) − N(t) ≥ 2) = o(h). K°{N(t), t ≥ 0}èPoissonLß. Ø¢˛ßr[0, t]y©ènáÉ ûm´mßKd^ á(4)0åßn → ∞ûß3zá´mSØáu)¸
次或两次以上的概率趋于0，因此，事件发生一次的概率 p≈（显然会很小），事件不发生的概率为1-p≈1-入， 这恰好是一次Bernoulli试验.其中事件发生一次即为试验 成功，不发生即为失败，再由条件(2)'给出的平稳独立增量 性，N(t)就相当于n次独立Bernoulli试验中试验成功的总 次数，由Poisson分布的二项分布逼近可知N(t)将服从参 数为入t的Poisson分布. 8/47 Poisson过程两定义等价的严格的数学证明： 定理3.1.1满足上述条件(1)'-(4)/的计数过程{N(t),t≥ 0}是Poisson过程，反过来Poisson过程一定满足这4个条 件. 证明：设计数过程{N(t),t≥0}满足条件(1)'~(4)'， GoBack 现证明它是Poisson过程.可以看到，其实只需验证N(t)服从 FullScreen Close Quit
8/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit g½¸g±˛V«™u0ßœdßØáu)ògV« p ≈ λ t n (w,p¨È)ßØáÿu)V«è 1−p ≈ 1−λ t nß ˘T–¥ògBernoulli £.Ÿ•Øáu)òg=è£ §ıßÿu)=èî}ß2d^á(2)0â—²’·O˛ 5ßN(t)“Éung’·Bernoulli £•£§ıo gÍßdPoisson ©Ÿë©Ÿ%CåN(t)Ú—lÎ ÍèλtPoisson©Ÿ. PoissonL߸½¬ dÓÇÍÆy²: ½n 3.1.1 ˜v˛„^á(1)0−(4)0OÍLß{N(t), t ≥ 0}¥PoissonLßßáL5Poisson Lßò½˜v˘4á^ á. y²µOÍLß{N(t), t ≥ 0}˜v^á(1)0 ∼ (4)0 , yy²ß¥PoissonLß. å±w,Ÿ¢êIyN(t)—l
参数为t的Poisson分布即可.记 液 Pn(t)=P(N(t)=n),n=0,1,2. P(h)=P(N(h)≥1) =P(h)+P2(h)+… =1-P(h) 9/47 Po(t+h)=P(N(t+h)=0) =P(N(t+h)-N(t)=0,N(t)=0) =P(N(t)=0)P(N(t+h)-N(t)=O) =Po(t)Po(h) =P(t)(1-λh+o(h)(条件(3)'，(4))· GoBack FullScreen Close Quit
9/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ÎÍèλtPoisson©Ÿ=å. P Pn(t) = P(N(t) = n), n = 0, 1, 2 · · · P(h) = P(N(h) ≥ 1) = P1(h) + P2(h) + · · · = 1 − P0(h) P0(t + h) = P(N(t + h) = 0) = P(N(t + h) − N(t) = 0, N(t) = 0) = P(N(t) = 0)P(N(t + h) − N(t) = 0) = P0(t)P0(h) = P0(t)(1 − λh + o(h))£^á(3)0 , (4)0§
因此 Po(t+h)-Po( 2=-Ae+o, 液 h 令h→0，得 P(t)=-入Po(t) 解此微分方程，得 Po(t)=Ke-Ni, 10/47 其中K为常数.由P(O)=P(N(0)=0)=1得K=1,故 Po(t)=e-At. GoBack FullScreen Close Quit
10/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit œd P0(t + h) − P0(t) h = −λP0(t) + o(h) h , -h → 0ß P 0 0 (t) = −λP0(t). )dá©êß, P0(t) = Ke−λt , Ÿ•Kè~Í. dP0(0) = P(N(0) = 0) = 1K = 1ß P0(t) = e −λt
同理，当n≥1时，有 液 Pn(t+h)=P(N(t+h)=n) =P(N(t)=n,N(t+h)-N(t)=0) +P(N(t)=n-1,N(t+h)-N(t)=1) +P(N(t+h)=n,N(t+h)-N(t)=2) =Pn(t)Po(h)+Pn-1(t).Pi(h)+o(h) 11/47 =(1-Xh)Pn(t)+XhPn-1(t)+o(h). 于是 Pn.(t+h)-Pn(t) h =-入Pn(t)+λPn-1(t)+o(h), 令h→0得 P(t)=-λPn(t)+入Pn-1(t) GoBack FullScreen Close Quit
11/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ”nßn ≥ 1ûßk Pn(t + h) = P(N(t + h) = n) = P(N(t) = n, N(t + h) − N(t) = 0) +P(N(t) = n − 1, N(t + h) − N(t) = 1) +P(N(t + h) = n, N(t + h) − N(t) ≥ 2) = Pn(t)P0(h) + Pn−1(t) · P1(h) + o(h) = (1 − λh)Pn(t) + λhPn−1(t) + o(h). u¥ Pn(t + h) − Pn(t) h = −λPn(t) + λPn−1(t) + o(h), -h → 0 P 0 n (t) = −λPn(t) + λPn−1(t)