实验七音叉受迫振动的实验研究【实验目的】1.研究音叉振动系统的受迫振动、阻尼振动及共振现象及物理规律。【实验原理】一、简谐振动与阻尼振动作机械振动的物体可以等效为弹簧振子的运动，在回复力的作用下作简谐振动。实际的振动系统都会受到阻尼力的影响，振动都会慢慢衰减，直至最后停止振动。所以实际振动系统的振动都是阻尼振动。在物体的振动速度不大时，它所受的阻尼力大小通常与速率成正比，若以F表示阻尼力大小，可将阻尼力写成如下形式：dx(1)F=-YU=-dt式中是比例系数，其值取决于运动物体的形状、大小和周围介质的性质等。物体的振动在有阻尼存在的情况下，其动力学方程为ax=--m--其中m为振子的等效质量，k为与振子属性有关的劲度系数。令=k/m，28=/m，代入上式可得：安+2号+0x=0(2)dt式中のo是对应于无阻尼时系统振动的固有角频率，8称为阻尼系数。当阻尼较小时，式（2）的解为：x= Afe" cos(at + )(3)式中，0=/。-2。由公式(3)可知，如果8=0，则认为是无阻尼的运动，这时x=Acos(o+)，成为简谐运动。在0，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运动。从公式0=。-82可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为：2元T=2元——(4)0o-82与无阻尼的周期T=2元相比，周期变大。33
33 实验七 音叉受迫振动的实验研究 【实验目的】 1. 研究音叉振动系统的受迫振动、阻尼振动及共振现象及物理规律。 【实验原理】 一、简谐振动与阻尼振动 作机械振动的物体可以等效为弹簧振子的运动，在回复力的作用下作简谐振动。实际的振动 系统都会受到阻尼力的影响，振动都会慢慢衰减，直至最后停止振动。所以实际振动系统的振动 都是阻尼振动。 在物体的振动速度不大时，它所受的阻尼力大小通常与速率成正比，若以 F 表示阻尼力大小， 可将阻尼力写成如下形式： dx F dt (1) 式中是比例系数，其值取决于运动物体的形状、大小和周围介质的性质等。 物体的振动在有阻尼存在的情况下，其动力学方程为： kx dt dx dt d x m 2 2 其中 m 为振子的等效质量，k为与振子属性有关的劲度系数。 令 2 0 k m m , 2 ，代入上式可得： 2 0 2 2 0 2 x dt dx dt d x (2) 式中 ω0 是对应于无阻尼时系统振动的固有角频率，δ 称为阻尼系数。 当阻尼较小时，式 (2) 的解为： 0 0 cos( ) t x Ae t (3) 式中， 2 2 0 。由公式(3)可知，如果 0 ，则认为是无阻尼的运动，这时 cos( ) 0 0 x A t ， 成为简谐运动。在 0 ，即在有阻尼的振动情况下，此运动是一种衰减运动。从公式 2 2 0 可知，相邻两个振幅最大值之间的时间间隔为： 2 2 0 2 2 T (4) 与无阻尼的周期 0 T 2 相比，周期变大
为了表征一个阻尼较弱的振动系统的阻尼强弱，可以引入品质因数Q=2元振动系统中储存的总能量振动一周中损失的能量由(3)可得00(5)28二、受迫振动实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来要使振动能持续下去，必需对振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充，振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，而周期性的外力又称为驱动力。实际发生的许多振动都属于受迫振动，例如声波的周期性压力使耳膜产生的受迫振动，电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受迫振动等。为简单起见，假设驱动力有如下形式：F=Fcoscot式中Fo为驱动力的幅值，の为驱动力的角频率。振子处在驱动力、阻力和回复力三者的作用下，其动力学方程成为d'xdxX-kx+F.cosot(6)mdi=-dt仍令%=k/m，28=m，得到：禁+28+Focosot+0ix=!(7)dt?dtm在阻尼较小时，上述方程的解是：x= Age- cos(/o, -$'t+P,)+ Acos(ot +p)(8)式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳态项。在振子振动一段时间达到稳定：(9)x=Acos(ot+p)应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有所不同：首先其中の并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次A和不决定于振子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上，只要将式（9）代入方程（7），就可计算出：FFoA=(10)r+(om-5y m/(o-0) +480034
34 为了表征一个阻尼较弱的振动系统的阻尼强弱，可以引入品质因数 Q 2 振动系统中储存的总能量 振动一周中损失的能量 由 (3) 可得 0 Q 2 (5) 二、受迫振动 实际的振动都是阻尼振动，一切阻尼振动最后都要停止下来．要使振动能持续下去，必需对 振子施加持续的周期性外力，使其因阻尼而损失的能量得到不断的补充．振子在周期性外力作用 下发生的振动叫受迫振动，而周期性的外力又称为驱动力。实际发生的许多振动都属于受迫振动， 例如声波的周期性压力使耳膜产生的受迫振动，电磁波的周期性电磁场力使天线上电荷产生的受 迫振动等。 为简单起见，假设驱动力有如下形式： 0 F F t cos 式中 F0 为驱动力的幅值，ω 为驱动力的角频率。 振子处在驱动力、阻力和回复力三者的作用下，其动力学方程成为 2 2 0 cos d x dx m kx F t dt dt (6) 仍令 2 0 k m m , 2 ，得到： 2 2 0 2 0 2 cos d x dx F x t dt dt m (7) 在阻尼较小时，上述方程的解是： cos( ) cos( ) 0 2 2 0 0 x A e t A t t (8) 式中第一项为暂态项，在经过一定时间之后这一项将消失，第二项是稳态项。在振子振动一段时 间达到稳定： x A t cos( ) (9) 应该指出，上式虽然与自由简谐振动式（即在无驱动力和阻力下的振动）相同，但实质已有 所不同：首先其中 ω 并非是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率，其次 A 和 φ 不决定于振 子的初始状态，而是依赖于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征。事实上，只要将式（9）代 入方程 (7) ，就可计算出： 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 4 F F A k m m (10)
Y(11)tgg=kom-0在稳态时，振动物体的速度为dx(12)Vmaxcos(ot+$+dt2其中F(13)k+(om0三、共振在驱动力幅值F。固定的情况下，应有怎样的驱动角频率の才可使振子发生强烈振动？这是个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。1.速度共振从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差元/2，一般地说，外力方向与物体运动方向有时同向，有时反向。同向时驱动力做正功，振子输入能量；反向时驱动力做负功，振子输出能量。输入功率的大小可由Fv计算。设想在振子固有频率、阻尼大小、驱动力幅值Fo均固定的情况下，仅改变驱动力的频率の，由（13）式不难得知，如果满足のm-k/=0，即の=のo时，振子的速度幅值有最大值。由（11）式可知此时tgg→00，=-元/2，驱动力将与振子速度始终保持同相，驱动力在整个周期内对振子做正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。这一现象称为速度共振。速度幅值Vmax随の的变化曲线如图1所示。显然或值越小，Vmax～の关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度表示：S=-0_=_Jo(14)0-Of-f其中fo为o对应的频率，fi、f2为Vmax下降到最大值的1//2倍时对应的频率值。由（13）式可以证明，共振峰锐度等于品质因数，即S=Q。2.位移共振驱动力的频率の为何值时才能使音叉臂的振幅A有最大值呢？对式（10）求导并令其一阶导为零，即可求得A的极大值及对应的の值为：35
35 k m tg (11) 在稳态时，振动物体的速度为 max cos( ) 2 dx v v t dt (12) 其中 0 max 2 2 ( ) F v k m (13) 三、共振 在驱动力幅值 F0 固定的情况下，应有怎样的驱动角频率 ω 才可使振子发生强烈振动？这是 个有实际意义的问题。下面分别从振动速度和振动位移两方面进行简单分析。 1. 速度共振 从相位上看，驱动力与振动速度之间有相位差 π/2，一般地说，外力方向与物体运动方向有时 同向，有时反向。同向时驱动力做正功，振子输入能量；反向时驱动力做负功，振子输出能量。 输入功率的大小可由 F·v 计算。 设想在振子固有频率、阻尼大小、驱动力幅值 F0 均固定的情况下，仅改变驱动力的频率 ω， 由 (13) 式不难得知，如果满足 ωm - k/ω=0，即 ω = ω0 时，振子的速度幅值有最大值。由 (11) 式 可知此时 tgφ → ∞，φ = -π/2，驱动力将与振子速度始终保持同相，驱动力在整个周期内对振子做 正功，始终给振子提供能量，从而使振子速度能获得最大的幅值。这一现象称为速度共振。速度 幅值 vmax随 ω 的变化曲线如图 1 所示。 显然 γ 或 δ 值越小， vmax ~ ω 关系曲线的极值越大。描述曲线陡峭程度的物理量一般用锐度 表示： 0 0 2 1 2 1 f S f f (14) 其中 f0为 ω0对应的频率，f1、f2 为 max v 下降到最大值的 1 2 倍时对应的频率值。由 (13) 式可 以证明，共振峰锐度等于品质因数，即S Q 。 2. 位移共振 驱动力的频率 ω 为何值时才能使音叉臂的振幅 A 有最大值呢？对式 (10) 求导并令其一阶导 为零，即可求得 A 的极大值及对应的 ω 值为：
F(15)A=2m80%-820,=-28(16)由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的角频率=のr（の,<のo）时，音叉臂的位移振幅A有UmexH阻尼=0阻尼=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大U图1速度共振曲线图2位移共振曲线最大值，称为位移共振。位移共振的幅值A随の的变化曲线如图2所示。由（14）式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼过小，发生共振时位移共振幅值过大，从而引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。比较图1和图2可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系统，当速度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点速度达到最大时，其受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回转点上的势能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大。这就是位移共振与速度共振并不发生在同一条件下的原因。显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图2的位移共振曲线清楚地看出来。四、音叉的振动周期与质量的关系从（4）式可知，在阻尼较小、且可忽略的情况下有：mT~2元=2元(17)Vk00这样我们可以通过改变质量m，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为256Hz的音叉的两臂上对称等距开孔，可以知道这时的T变小，共振频率f变大；将两个相同质量的物块mx对称地加在两臂上，T变大，共振频率变小。从式（17）可知这时：36
36 2 2 0 0 2 m F A (15) 2 2 r 0 (16) 由此可知，在有阻尼的情况下，当驱动力的角频率 ω = ωr (ωr＜ω0) 时，音叉臂的位移振幅 A 有 最大值，称为位移共振。位移共振的幅值 A 随 ω 的变化曲线如图 2 所示。 由 (14) 式可知，位移共振幅值的最大值与阻尼 δ 有关。阻尼越大，振幅的最大值越小；阻 尼越小，振幅的最大值越大。在很多场合，由于阻尼过小，发生共振时位移共振幅值过大，从而 引起系统的损坏，这是我们需要十分重视的。 比较图 1 和图 2 可知，速度共振和位移共振曲线不完全相同。对于有阻尼的振动系统，当速 度发生共振时，位移并没有达到共振。其原因在于，对于作受迫振动的振子在平衡点速度达到最 大时，其受到的阻力也达到最大，于是在平衡点上的最大动能并没有能全部转变为回转点上的势 能，以致速度幅值的最大并不对应位移振幅的最大。这就是位移共振与速度共振并不发生在同一 条件下的原因。显然，如果阻尼很小，两种共振的条件将趋于一致，这一点也可从图 2 的位移共 振曲线清楚地看出来。 四、音叉的振动周期与质量的关系 从 (4) 式可知，在阻尼 δ 较小、且可忽略的情况下有： k m T 2 2 0 (17) 这样我们可以通过改变质量 m，来改变音叉的共振频率。我们在一个标准基频为 256Hz 的音叉的 两臂上对称等距开孔，可以知道这时的 T 变小，共振频率 f 变大；将两个相同质量的物块 mx 对 称地加在两臂上，T 变大，共振频率 f 变小。从式 (17) 可知这时： 图 1 速度共振曲线 图 2 位移共振曲线
4元2T2(18)(mo+m)k其中k称为音叉振子的等效劲度系数，它与音叉的力学属性有关。m为不加质量块时的音叉振子的等效质量，m为两个振动臂增加的物块质量，由式（18），音叉振动周期的平方与质量成正比，我们可通过测量音叉的振动周期来测量未知质量，并可制作测量质量和密度的传感器。【实验仪器】DH4615音叉受迫振动与共振实验仪，DH4618型弦振动实验仪【实验内容】1.研究音叉作受迫振动时在无阻尼和有阻尼情况下速度的幅度与驱动力频率之间的变化关系，绘制不同阻尼下的速度幅-频关系曲线：求出两个半功率点和f，计算音叉振动速度幅-频关系曲线的锐度（Q值），并对结果进行分析。表1测量音叉振动速度幅-频特性关系数据表（阻尼：有、无）iJ/HzUIV2.（选做）用示波器观测激振线圈的输入信号和接收线圈的输出信号，测量它们的相位关系。3.将码对称地加到音叉双臂的一定位置上，测量音叉双臂发生共振时共振频率与所加质量的关系，绘制振动周期平方与所加质量的关系曲线，并用最小二乘法求音叉的等效质量mo和等效劲度系数k。表2测量音叉振动共振频率与所加质量的关系数据表2i1345601020304050m/gJ/Hz【注意事项】1驱动线圈和接收线圈距离音叉臂的位置要合适，距离近容易相碰，距离远信号变小。测量振曲线时驱动线圈和接收线圈的位置确定后不能再移动，否则会造成曲线失真。2.仪器应可靠放置，张力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落3.弦线应可靠挂放，码的悬挂与取放应小心，以防弦线崩断而发生危险。4.低频信号源的“激振输出为功率信号，应防止短路。37
37 2 2 0 4 ( ) T m mx k (18) 其中 k 称为音叉振子的等效劲度系数，它与音叉的力学属性有关。m0为不加质量块时的音叉振子 的等效质量，mx为两个振动臂增加的物块质量。 由式 (18) ，音叉振动周期的平方与质量成正比，我们可通过测量音叉的振动周期来测量未知 质量，并可制作测量质量和密度的传感器。 【实验仪器】 DH4615 音叉受迫振动与共振实验仪，DH4618 型弦振动实验仪 【实验内容】 1. 研究音叉作受迫振动时在无阻尼和有阻尼情况下速度的幅度与驱动力频率之间的变化关系，绘 制不同阻尼下的速度幅-频关系曲线；求出两个半功率点 f2 和 f1，计算音叉振动速度幅-频关系 曲线的锐度（Q 值），并对结果进行分析。 表 1 测量音叉振动速度幅-频特性关系数据表( 阻尼：有、无 ) i f/Hz U/V 2. （选做）用示波器观测激振线圈的输入信号和接收线圈的输出信号，测量它们的相位关系。 3. 将砝码对称地加到音叉双臂的一定位置上，测量音叉双臂发生共振时共振频率与所加质量的关 系，绘制振动周期平方与所加质量的关系曲线，并用最小二乘法求音叉的等效质量 m0 和等效 劲度系数 k。 表 2 测量音叉振动共振频率与所加质量的关系数据表 i 1 2 3 4 5 6 m/g 0 10 20 30 40 50 f/Hz 【注意事项】 1. 驱动线圈和接收线圈距离音叉臂的位置要合适，距离近容易相碰，距离远信号变小。测量共振 曲线时驱动线圈和接收线圈的位置确定后不能再移动，否则会造成曲线失真。 2. 仪器应可靠放置，张力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落。 3. 弦线应可靠挂放，砝码的悬挂与取放应小心，以防弦线崩断而发生危险。 4. 低频信号源的“激振”输出为功率信号，应防止短路