在z=i的留数 (z2+1)(x2-2 z cos e+1) 在z=e的留数 可以计算 被积函数在z=i的留数 被积函数在2=c的留数=(om+1)2sm 2 cos e(cos 8 +isin 0)2i sin 0 同时,因为 12(2+1(2-220804+1)=0 根据大圆弧引理,有 综合上述结果,取极限R 得到 (r2+1(r2-2r cos 0+ dr sing 积分围道 (2分) 被积函数 (2分) 留数定理 (3分) 奇点i及留数计算 奇点e及留数计算 (4分) 大圆弧引理 (2分) 结果 (3分) 四、(2)(20分) 取围道如图87,考虑复变积分 2(2+4) 根据留数定理有 x(x2+4)2 sz(x2+4) ,x+可+/+可
= 2πi 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1)❋ z = i P❤✸ + 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1)❋ z = eiθ P❤✸ . ➭➲ ➉➊ Ü ❩ ✹✸❋ z = i P❤✸ = 1 2i(−2i cos θ) = 1 4 cos θ Ü , ❩ ✹✸❋ z = eiθ P❤✸ = 1 (ei2θ + 1)2i sin θ = 1 2 cos θ(cos θ + i sin θ)2i sin θ = −i cos θ − i sin θ 4 cos θ sin θ = −i 1 4 sin θ − 1 4 cos θ . Ý ➧ ✛✿❖ limz→∞ z · 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1) = 0, ÔÕÞÑ ßàÖ✛× lim R→∞ 1 (z 2 + 1)(z 2 − 2z cos θ + 1)dz = 0. áâ❸➚ãä✛❰åæ R → ∞ ✛ç➽➾ Z ∞ −∞ 1 (x 2 + 1)(x 2 − 2x cos θ + 1)dx = π 2 sin θ . ❩ ✶ ❮Ï Ü (2 ✶) ❩ ✹✸ (2 ✶) ❤ ✸ ➇Ö (3 ✶) è❲ i é ❤ ✸➉➊ (4 ✶) è❲ e iθ é ❤ ✸➉➊ (4 ✶) Þ Ñ ßàÖ (2 ✶) ãä (3 ✶) ➈✲ (2) (20 ✶) ❰❮Ïêë 8.7 ✛ÒÓ● ➑❩ ✶ I e iz z(z 2 + 4)dz. ÔÕ❤✸ ➇Ö× I e iz z(z 2 + 4)dz = Z −δ −R e ix x(x 2 + 4)dx + Z Cδ e iz z(z 2 + 4)dz = Z R δ e ix x(x 2 + 4)dx + Z CR e iz z(z 2 + 4)dz 6
因为 根据 Jordan引理,有 dz=o 根据小圆弧引理,有 2(2+4) 综合上述结果,取极限R→∞,6→0,就得到 比较虚部,就得到最后结果 r(x2+4) 积分围道 被积函数 (2分) 留数定理 (3分) 奇点z=2i及留数计算 分) 小圆弧引理,计算 (4分) 大圆弧, n引理 结果 (3分) FO 作变换=2,注意z平面上的|2=1一周变为平面上的k|=1两周,所以 F0)={1+2+ 在单位圆内的留数和
= 2πi e −2 −8 = − πi 4 e −2 . ✿ ❖ limz→∞ 1 z(z 2 + 4) = 0, ÔÕ Jordan àÖ✛× lim R→∞ Z CR e iz z(z 2 + 4)dz = 0. ì✿ ❖ limz→0 z · e iz z(z 2 + 4) = 1 4 , ÔÕíÑ ßàÖ✛× lim δ→0 Z Cδ e iz z(z 2 + 4)dz = − πi 4 . áâ❸➚ãä✛❰åæ R → ∞, δ → 0 ✛ç➽➾ Z ∞ −∞ e ix x(x 2 + 4)dx = πi 4 1 − e −2 . îï ❺❼✛ç➽➾ðñãä Z ∞ −∞ sin x x(x 2 + 4)dx = π 4 1 − e −2 . ❩ ✶ ❮Ï Ü (2 ✶) ❩ ✹✸ (2 ✶) ❤ ✸ ➇Ö (3 ✶) è❲ z = 2i é ❤ ✸➉➊ (4 ✶) í Ñ ßàÖ✛➉➊ (4 ✶) Þ Ñ ß✛ Jordan àÖ (2 ✶) ãä (3 ✶) ➍✲ (10 ✶) F(p) = 1 π Z π 0 p p 2 + cos2θ dθ = 1 2π Z 2π 0 p p 2 + cos2θ dθ = 1 2π I |z|=1 p p 2 + 1 4 (z + z−1) 2 dz iz = 4p 2πi I |z|=1 z z 4 + 2(2p 2 + 1)z 2 + 1 dz. ➘ ➑➒ ζ = z 2 ✛✍✎ z òó❸P |z| = 1 ✱ô➑ ❖ ζ òó❸P |ζ| = 1 õô✛➯➲ F(p) = 4p 2πi I |ζ|=1 1 ζ 2 + 2(2p 2 + 1)ζ + 1 dζ = 4p × 1 ζ 2 + 2(2p 2 + 1)ζ + 1❋ ➷öÑ▲P❤✸❳. 7
+2(2+1+1的奇点是 2+1)±√4(2p2+1)2-4 p2+1)±2pVP2 所以+2+D+在单位圆内只有一个奇点 并且是一阶极点,留数为 2(+2(2+1)(=-2y9+1)+2P+14p俨 最后就得到 F(P) Cos 的 Laplace变换 (2分) 变为沿单位圆|2|=1的积分 作变换 奇点及留数计算 (2分) 结 果 (2分) 成立条件:(Rep>0) (1分)
1 ζ 2 + 2(2p 2 + 1)ζ + 1 Pè❲✺ ζ = −2(2p 2 + 1) ± p 4(2p 2 + 1)2 − 4 2 = −(2p 2 + 1) ± 2p p p 2 + 1, ➯➲ 1 ζ 2 + 2(2p 2 + 1)ζ + 1 ❋ ➷öÑ▲÷×✱øè❲✛ ζ = −(2p 2 + 1) + 2p p p 2 + 1, ù❻ ✺✱úå❲✛❤ ✸❖ 1 2ζ + 2(2p 2 + 1) ζ=−(2p2+1)+2p √ p2+1 = 1 4p p p 2 + 1 . ðñç ➽➾ F(p) = 1 p p 2 + 1 . cos ωt P Laplace ➑➒ (2 ✶) ➑ ❖û➷öÑ |z| = 1 P❩✶ (2 ✶) ➘ ➑➒ ζ = z 2 (1 ✶) è❲é ❤ ✸➉➊ (2 ✶) ã ä (2 ✶) rsüý❀ (Rep > 0) (1 ✶) 8