数 理 着考处 【4】实信号分解成延时冲激信号的加权和 x()=x(z)6(t-)dz (22.23) 【5】连续时间信号的微分运算和积分运算 对单个连续时间信号的运算,涉及连续时间信号的时移 连续时间信号的反褶及连续时间信号的压扩,此外,还涉及 连续时间信号的微分和积分运算。 (1)连续时间信号x()的微分运算定义为 x'(t) dx( 2.2.24)
( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.23 1 ( ) ( ) ( ) 2.2.24 xt x t d x t dx t x t dt τδ τ τ +∞ −∞ = − ′ = ∫ （ ） 对单个连续时间信号的运算，涉及连续时间信号的时移、 连续时间信号的反褶及连续时间信号的压扩，此外，还涉及 连续时间信号 【4】实信号分解成延时冲激信号的加权和 【5】连 的微分和积分运算。 连续时 续时间信号的微分运算和积分运 间信号 的微分运算定义为 （ 算 ）
数 理 着考处 例221:若连续时间信号x(0)==(O,试求(O 解:女( le u(tr=ae u(t)+e S(t=8(t)+ae u(t) dt 注意:对连续时间因果信号或连续时间反因果信号求导时, 定要按乘积求导法则来处理。否则,可能丢项导致结果出错! 2)连续时间信号x()的积分运算定义为 )=」x(r)dr 2.2.25)
( ) 2.2.1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) at t tt t dx t xt e ut dt dx t e ut e ut e t t e ut dt α αα α α δ δα = = = + =+ ′ 例 ：若连续时间信号 ，试求 解： 注意：对连续时间因果信号或连续时间反因果信号求导时， 一定要按乘积求导法则来处理。否则，可能丢项导致结果出错！ ( ) ( 1) 2 ( ) ( ) ( ) 2.2.25 t x t x t xd τ τ − −∞ = ∫ 连续时间信号 的积分运算定义为 （ ）
数 理 着考处 例222:若连续时间信号x()=e“u(),试求x()=[x(r)dz 解:方法1:分段积分法 ①若t<O时,则-∞≤r≤t<0,l(r)=0 )=x(edt= eu(tdr=0 ②若t>0时,则 x(tdT e u(t)d o ault dt+ TaT Cedr=e o=-(ea-1 t<0 (rd ),t>0
( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 0 2.2.2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 () ( ) ( ) 0 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) 1 t at t t a tt t a aa t a a x t e ut x t x d t tu x t x d eu d t x t x d eu d eu d eu d ed e a τ τ ττ τ τ τ τ τ τ ττ ττ τ τ ττ ττ ττ τ − −∞ − −∞ −∞ − −∞ −∞ −∞ = = < −∞≤ ≤ < = == = > == = + = = ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 1 例 ：若连续时间信号 ，试求 解：方法 ：分段积分法 ①若 时，则 ， ②若 时，则 0 ( 1) 1 ( 1) 0 ,0 () ( ) 1 ( 1) , 0 t at t a at e a t x t eu d e t a τ τ τ − −∞ = − ⎧ < ⎪ = = ⎨ − > ⎪⎩ 即 ∫
数 理 着考处 方法2:分部积分法 x-(=5x(e)=e u(t)dt= u(r)de =-」 eS(rdr]=[eu(t) 6()dz] e u(t l()]=-el(t)-l(O)
( 1) 1 () ( ) ( ) ( ) 1 1 [ () () ] [ () () ] 1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 ( 1) ( ) tt t a a t t at a at a t at at x t x d e u d u de a eu e d eu d a a e u ut e ut ut a a e ut a τ τ τττ τ ττ ττ τ τ δτ τ τ δτ τ τ − −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ == = =− =− = −= − = − ∫∫ ∫ ∫ ∫ 方法2：分部积分法
数 理 着考处 方法3:整体积分法 从方法1及方法2的求解得到启示,若将连续时间因果信号 的表达式视为一个整体,找出其原函数,便可直接利用 牛顿一莱布尼茨公式求解 设X(z)= l(z), dx(t) d u(T e u(t)t 6(z)=e“u(z)=x(z) dtdt a 即X(r)=-1()是x)=c"(r的一个原函数。于是 aT X(TaT eu(rdr ulT (e“-1)(t) a
( 1) 1 2 — 1 () () () 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 () () () () () ( ) a a a a a a a t e X u a dX d e e u eu eu x d da a e X u x eu a x t xd τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ δτ τ τ τ τ τ ττ τ τ τ − −∞ − = − − = =+ == − = = = 方法3：整体积分法 从方法 及方法 的求解得到启示，若将连续时间因果信号 的表达式视为一个整体，找出其原函数，便可直接利用 牛顿 莱布尼茨公式求解。 设 ，则 即 是 的一个原函数。于是 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) a t a t e at e u d u e ut a a τ τ ττ τ −∞ −∞ − = = =− ∫ ∫