数 理 着考处 (3)x(1)6(-t0)=x(0(t-0) 2.2.14 (4。x(0(60=x() (2.2.15) 证明:对式(22.14)两边分别积分, 并考虑到6(t)定义式(2.23),则有 + + x()6(t-t0 6(t-t0)dt=x() 式(22.15)从分配的角度定义了单位冲激函数, 并称x(t)为测量函数
00 0 0 0 0 00 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.14 ( ) ( ) ( ) 2.2.15 2.2.14 ( ) 2.2.3 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.15 xt t t xt t t x t t t dt x t t x t t t dt x t t t dt x t t t dt x t δ δ δ δ δδδ +∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −= − − = −= −= −= ∫ ∫∫ ∫ （3） （ ） (4) （ ） 证明：对式（ ）两边分别积分， 并考虑到 的定义式（ ），则有 式（ ）从分配的角度定义了单位冲激函数 x t( ) ， 并称 为测量函数
数 理 242.3连续时间信号的分解和连续时间信号的运算 着考处 1】连续时间实信号的幂级数展式 若连续时间信号x(1)在t=0点的某一邻域(-R,R内, 具有任意阶导数,则连续时间信号在该邻域(-R,R内, 可展成幂级数,即 ∑ t∈(-R,R 2.2.16 其中,a (0 收敛半径R=imn/an
2.3连续时间信号的分解和连续时间信号的运算 0 ( ) 1 () 0 ( , ) ( ,) ( ) , ( , ) 2.2.16 (0) lim ! n n n n n n n n xt t R R R R xt at t RR x a R a a n +∞ = − →∞ = − − = ∈− = = ∑ 1 若连续时间信号 在 点的某一邻域 内， 具有任意阶导数，则连续时间信号在该邻域 内， 可展成幂级数，即 （ ） 其中， ，收敛半 【 】连续时间实信号的幂级数展式 径
数 理 着考处 2】欧拉公式 e=cost+ JoInt,t∈(-∞,+∞) (22.17) 证明:(1)利用式(22.16)的幂级数展式,可以得到 sint= t 3+571+91+"+(2n t∈(-∞,+∞)(2.2.18) 显然有lmSa()= lim sin t1 2.2.19) t→0 t→>0 (2)对式(22.18)两边分别求导可得 -1 cost=1--+ +—+… t∈(-∞,+∞)(2.220 2 3)利用式(2216)的幂级数展式,可以得到 1+t t∈(-∞,+ (2.2.21)
cos sin , ( , ) 2.2.17 jt e tj t t = + ∈ −∞ +∞ （ 【2 】 欧拉 公 式 ） 3579 1 2 1 0 0 2468 1 2 1 2.2.16 ( 1) sin , ( , ) 2.2.18 3! 5! 7! 9! (2 1)! sin lim ( ) lim 1 2.2.19 2 2.2.18 ( 1) cos 1 2! 4! 6! 8! (2 2)! n n t t n n tttt t t t t n t Sa t t tttt t t n − − → → − − = − + − + + + + ∈ −∞ +∞ − = = − =− + − + + + − " " " 证 明：（）利用式（ ）的幂级数展式，可以得到 （ ） 显然有 （ ） （ ）对式（ ）两边分别求导可得 2 23456 , ( , ) 2.2.20 (3) 2.2.16 1 , ( , ) 2.2.2 1 2! 3! 4! 5! 6! ! n t t ttttt t e t t n − + ∈ −∞ +∞ = + + + + + + + + + ∈ −∞ +∞ " " " （ ） 利用式（ ）的幂级数展式，可以得到 （ ）
数 理 着考处 (4)考虑到式(2.2.19)及式(2220),由式(2.2,21)可得 ,=1+jt+ +(1)2+()+( 5 7! (1 +…)+j(t 2!4!6! 3!5!7 coSt+ sint 特别地 J,e==j e(2m+1x=-1,e2mz=1(m为整数)
234567 246 357 3 2 2 4 2.2.19 2.2.20 2.2.21 () () () () () () 1 2! 3! 4! 5! 6! 7! (1 ) ( ) 2! 4! 6! 3! 5! 7! cos sin , ( , ) jt j j jt jt jt jt jt jt e jt ttt ttt j t tj t t e je π π =+ + + + + + + + =− + − + + − + − + = + ∈ −∞ +∞ = =− "" " " （ ）考虑到式（ ）及式（ ），由式（ ）可得 特别地： ， (2 1) 2 1 1 j m j m j e em + ± π π =− = ， （ 为整数）
数 理 着考处 【3】连续时间实信号的奇偶分解 连续时间实信号x()分解成奇信号x(t)与偶信号x()之和,即 x()=x2()+x2() (2.2.22) 式中,x2()=[x(t)-x(-1),x2(t)=[x(t)+x(-1) 讨论: 若连续时间实信号是因果信号,即可以表示成, x(1)Sgm()=[x(1)-x(-D)]Sgn() [x(t)(t)-x(-Dl(-)l(t)-l(-t) [x(t)a(t)+x(-D)l(-) (1)x(t)=x(1)+x2(t) 同理:x2(t)Sgn()=x(t)
( ) () () () () () 2.2.22 1 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] 2 2 o e o e o e x t x t x t xt x t x t x t xt x t x t xt x t = + = −− = +− 连续时间实信号 分解成 【3】连续时 奇信号 与偶信号 之和，即 （ 间 ） 实 式中， ， 信号的奇偶分解 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 1 [ ( ) ( ) ( ) ( )][ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 () () () () () () () o e oe e o x t Sgn t x t x t Sgn t xtut x tu t ut u t xtut x tu t x t xt x t x t x t Sgn t x t = −− = −− − −− = +− − = =+ = 若连续时间实信号是因果信号，即可以表示成， 同理： 讨论：