例7.5.1如图7.5.1的一根金属棒，其密度分布为p(x)= 2x2 +3x +6 (kg/m),06x求这根金属棒的质量M。解M=[(2x2+3x+6)dx图7.5.132+6x=234 (kg) 。210这个问题可以作以下的推广：(1)假定物理量分布在一个平面区域上，x的变化范围为区间[a,b]。如果过x（a≤x≤b）点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的物理量的密度可以用f(x）表示，或者说该平面区域在横坐标位于[x,x+dx]中的部分上的物理量可以表示为f(x)dx，那么由类似的讨论，可以得到这个区域上的总物理量为Q= J'f(x)dx
这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x的变化范围为区间[, ] a b 。 如果过 x （ ≤ ≤ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 xf )( 表示，或者说该平面区域在横坐标位于 + dxxx ],[ 中的部分上的物理量可以表示为 )( dxxf ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 Q f x dx a b = ∫ ( ) 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.2求圆心在水下10m，半径为1m的竖直放置的圆形铁片（图7.5.2）所受到的水压力。解由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压强为p= hpg ,这里，p是液体的密度，g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10+x处（-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g，在圆铁水面片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的x+10一条带域，则带域的面积为dS = 2/1- x2 dx ,dx所以带域上所受到的压力为dF = 2g /1-x2 .(10 + x)dx ,于是铁片所受到的水压力为(N)F = 2gL, /1- x2 .(10 + x)dx = 10πg图7.5.2
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的 压强为 = ⋅ ρghp ， 这里， ρ 是液体的密度， g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿 铅垂线方向向下为x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 1 ≤ x ≤ )受到的压强为( ) 10 + x g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 dS dxx 2 12 −= ， 所以带域上所受到的压力为 )10(12 dxxxgdF 2 +⋅−= ， 于是铁片所受到的水压力为 10)10(12 πgdxxxgF 1 1 2 =+⋅−= ∫− （N）
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，S4的第三部分给出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公式：设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为A(x），则几何体的体积为V= f' A(x)dx。此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数A(x）是截面的面积
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x a = 和 x b = 之间的几何体的体积公 式：设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A x( )， 则几何体的体积为 V A x dx a b = ∫ ( ) 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 xA )( 是截面的面积
（2）假定物理量是分布在一条平面曲线x = x(t),t e[T, T,]y = y(t),上，分布函数（即物理量的密度）为f(t)，在(x(t),y(t))处截取一段长度为dl的弧，那么在这段弧上的物理量do为dQ= f(t)dl 。利用弧长的微分公式，dQ = f(t)dl = f(t)/x'(t)? + y'(t) dt ,关于t在[T，T]上积分，就得到Q=f"f(t)dl ="f(t)/x(t)2 + y(t) dt 。这个结论可以推广到空间曲线的情况
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x xt y yt t TT = = ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f t( )，在( ( ), ( ) ) xt yt 处截取一段 长度为dl 的弧，那么在这段弧上的物理量dQ 为 = )( dltfdQ 。 利用弧长的微分公式， dQ f t dl = ( ) = f t x t y t dt () () () ′ + ′ 2 2 ， 关于 t 在[, ] T T 1 2 上积分，就得到 Q f t dl f t x t y t dt T T T T = = ∫ ∫ () () () () ′ + ′ 1 2 1 2 2 2 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况