6z01a.nb Q复数应用举例一第一次亲密接触 目例题 sin -sin 番 Mathematica可直接给出结果 ctl sin n,1,m-1 FullSimplify[f[m]] 证明: 1有m个根均匀分布于单位圆圆周上em,其中k=0,1,2,…,(m-1),因此 1++-2+…+=m-1= 对最后一个等式(蓝色部分),令二=1,则有: 取复共轭:m=1-e 两个等式相 2kT 22 sin2 两边开方即得 目例题 求证:任意四边形的边外接四个正方形,对边正方形中心的连线相互垂直且相等
复数应用举例 —— 第一次亲密接触 ☺ 例题 求证 sin π m sin 2 π m ... sin (m - 1) π m = m 2m-1 , integer m > 1 Mathematica 可直接给出结果： f[m_] := ProductSin n π m , {n, 1, m - 1} FullSimplify[f[m]] 21-m m 证明： zm - 1 有 m 个根均匀分布于单位圆圆周上 2 k π m , 其中 k = 0, 1, 2, ..., (m - 1)，因此 zm - 1 = k=0 m-1 z - 2 k π m = (z - 1) k=1 m-1 z - 2 k π m zm - 1 z - 1 = 1 + z + z2 + ... + zm-1 = k=1 m-1 z - 2 k π m 对最后一个等式（蓝色部分），令 z = 1，则有： m = k=1 m-1 1 - 2 k π m , 取复共轭 ：m = k=1 m-1 1 - - 2 k π m 两个等式相乘 m2 = k=1 m-1 1 - 2 k π m 1 - - 2 k π m = k=1 m-1 2 1 - cos 2 k π m = k=1 m-1 22 sin2 k π m 两边开方即得。 ☺ 例题 求证：任意四边形的边外接四个正方形，对边正方形中心的连线相互垂直且相等。 6 z01a.nb
b|7 显示复数□ 利用复数的矢量表示,矢量也可以用复数表示,设 a+b+c+d=0其中a,b,c,d为复数 OA边的外接正方形中心A表为:a-aOA的一半a加上该矢量顺时针转 AB边的外接正方形中心B表为:2a+bb BC边的外接正方形中心C′表为:2a+2b+c_c CO边的外接正方形中心D表为:2a+2b+2c+d-id 矢量C可表为:1=(2a+2b+c-ic)-(a-ia)=(a+2b+c)-i-a) 矢量BC可表为:2=(2a+2b+2c+d-id-(2a+b-ib)=(b+2c+d-i(d-b) 要证明垂直且相等,须证明:z/z1=±i(正负号可由图形判断) Clear [a, b,c, d] z2=(b+2c+d)-i(d-b) Simplify[z2-i zl, a+b+c+d=o] 目例题
显示复数 ● ● ● 利用复数的矢量表示，矢量也可以用复数表示，设 OA = 2 a, AB = 2 b, BC = 2 c, CO = 2 d, a + b + c + d = 0 其中 a, b, c, d 为复数 OA边的外接正方形中心 A′ 表为： a - a OA的一半 a 加上该矢量顺时针转 π 2 AB边的外接正方形中心 B′ 表为： 2 a +b - b BC边的外接正方形中心 C′ 表为： 2 a +2 b +c - c CO边的外接正方形中心 D′ 表为： 2 a +2 b +2 c +d - d 矢量 A′ C′ 可表为： z1 = (2 a + 2 b + c - c) - (a - a) = (a + 2 b + c) - (c - a) 矢量 B′ C′ 可表为： z2 = (2 a + 2 b + 2 c + d - d) - (2 a + b - b) = (b + 2 c + d) - (d - b) 要证明垂直且相等，须证明：z2 /z1 = ± （正负号可由图形判断） Clear[a, b, c, d]; z1 = (a + 2 b + c) - (c - a); z2 = (b + 2 c + d) - (d - b); Simplify [ z2 - z1, a + b + c + d 0] 0 ☺ 例题 求积分 z01a.nb 7
s(17x)dx= Re 分析:显然,无法通过求原函数求得该定积分的值。只有通过数值计算 般的数值计算程序,运算过程仅保留15位有效数字, 而上述积分的被积函数的绝对值在(-∞,-1间达1023,积分结果数量级仅为1 人而该积分实际上为一些1023的数相加减,得到10的数 有效数字损失22位,任何仅有15位有效数字的算法均无法得到可靠结果 目番 Mathematica编程练习 验证:对复平面上任意n个互不相等的有限远点,k=1,2,…,n,(n≥2),有恒等式 Q复数序列的极限 按一定顺序排列的复数,二n=xm+ijym,n=1,2, 称为复数序列 聚点:YE>0,彐无穷多个n满足-zn|<E,则z称为序列的一个聚点 极限:VE>0,彐N(e)>0使得当n>N时恒有--<E,则称〓为复数序列的极限。记为limn= 个序列可以由多个聚点,如:3-43,-5…(1y-n+1m就有两个聚点:±1,当极限存在时,极限是序列唯一的 聚点 实数序列中,最大的聚点称为序列的上极限,记为:limx,最小的聚点称为下极限,记为: lim x 定理:极限存在充要条件; cauchy判据 VE>0,彐Ne)>0,使得当n>N时,对任意正整数p,恒有|-n+p--n|<e ■极限趋于无穷:YM>0,彐NM>0,使得当n>N时,恒有|-n|>M。记为Iim=m=∞ 12复变函数复变函数的极限与连续 Q区域 函数的概念推广到复数数域,自变量是复数,取值范围在复平面的某个区域,与二元函数有点相似(但又不是二元函 数) 一些概念: 点集:复平面上任意一些点的集合。 ■邻域:点=0的E邻域是指满足|--=0<E的点集,以0为中心,E为半径的圆 去心邻域(无心邻域):满足0<|=-01<ε的点集 ■内点:点集S的内点指的是可以找到该点的一个邻域,使得该邻域的点都属于点集
-∞ -1 x - x2 - 1 17 -1 2 x2-1 cos(17 x) d x = Re -∞ -1 x - x2 - 1 17 -1 2 x2-1 17 x d x 分析 ：显然，无法通过求原函数求得该定积分的值。只有通过数值计算。 一般的数值计算程序 ，运算过程仅保留15位有效数字 ， 而上述积分的被积函数的绝对值在 (-∞,-1 间达 1023，积分结果 数量级仅为 1。 从而该积分实际上为一些 1023 的数相加减 ，得到 101 的数。 有效数字损失 22 位，任何仅有15位有效数字的算法均无法得到可靠结果 。 ☺ Mathematica 编程练习 验证：对复平面上任意 n 个互不相等的有限远点 zk, k = 1, 2, ..., n, (n ≥ 2)，有恒等式 k=1 n 1 n m=1 m≠k (zk - zm) = 0 复数序列的极限 按一定顺序排列的复数，zn = xn + yn, n = 1, 2, 3, ...，称为复数序列。 ◼ 聚点：∀ ε > 0，∃ 无穷多个 zn 满足 z - zn < ε，则 z 称为序列的一个聚点。 ◼ 极限：∀ ε > 0，∃ N(ε) > 0 使得当 n > N 时恒有 z - zn < ε，则称 z 为复数序列的极限。记为 lim n→∞zn = z 一个序列可以由多个聚点，如： 1 3 , -2 4 , 3 5 , -4 6 , ..., (-1)n-1 n n + 1 , ... 就有两个聚点： ±1，当极限存在时，极限是序列唯一的 聚点。 实数序列中，最大的聚点称为序列的上极限，记为： lim n→∞ xn， 最小的聚点称为下极限，记为： lim n→∞ xn 定理：极限存在充要条件：Cauchy判据 ∀ ε > 0， ∃ N(ε) > 0，使得当 n > N 时，对任意正整数 p，恒有 zn+p - zn < ε。 ◼ 极限趋于无穷：∀ M > 0， ∃ N(M) > 0，使得当 n > N 时，恒有 zn > M。记为 lim n→∞ zn = ∞。 1.2 复变函数 复变函数的极限与连续 区域 函数的概念推广到复数数域，自变量是复数，取值范围在复平面的某个区域，与二元函数有点相似（但又不是二元函 数）。 一些概念： ◼ 点集：复平面上任意一些点的集合。 ◼ 邻域：点 z0 的 ε 邻域是指满足 z - z0 < ε 的点集，以 z0 为中心，ε 为半径的圆内。 去心邻域（无心邻域）：满足 0 < z - z0 < ε 的点集。 ◼ 内点：点集 S 的内点指的是可以找到该点的一个邻域，使得该邻域的点都属于点集 S。 8 z01a.nb
zOla.nb 9 ■开区域:两个条件:a.每一点都是内点:b.点集中的任意两点均可用一条属于该点集的点构成的曲线或折线相连 例:H<a是一个开区域 ■边界点:不属于开区域D,但其任一邻域均包含属于D与不属于D的点 ■闭区域:开区域+边界点,记为D 例:121<R是一个开区域;|1=R为边界点;|-|≤R是一个闭区域 ■全平面:不包括无穷远点的整个复平面,也称复平面 ■闭平面:包含无穷远点的整个复平面,也称扩充复平面 单连通区域:边界一条简单闭合曲线构成的区域,如|=1<R 复连通区域:边界由多于一条闭合曲线构成,如:R1<|-1<R 关于单连通与复连通:区域D中任意一条闭合曲线,能否通过连续变形缩成一个点,在变形过程中,该曲线上 的任意点始终不落在区域D之外。 可以通过做割线把复连通区域变为单连通区域 几点补充 ■通常用G来表示开区域,G来表示闭区域,G=G+C,C为边界点 对复平面,无穷远点称为其边界点,对扩充复平面,无穷远点是内点 ■扩充复平面是唯一一个无边界点的区域 ■有限远点0的δ邻域为满足|=-20|<6的所有点 无穷远点的6邻域为满足|-1>1/6的点,即:以原点为中心,1/06为半径的圆之外的点集 ■区域边界正向:沿着边界走,区域在左手 试画出0< 的区域 二+ix2+(y+1)x2+(+1)2 依题意:u>0,0<v<a,得:x2+y2-1>0,-2x>0,x2+y2-1>-2x,得到如图绿色区域
◼ 开区域：两个条件：a. 每一点都是内点；b. 点集中的任意两点均可用一条属于该点集的点构成的曲线或折线相连。 例： z < a 是一个开区域。 ◼ 边界点：不属于开区域 D，但其任一邻域均包含属于 D 与不属于 D 的点。 ◼ 闭区域：开区域 + 边界点，记为 D。 例： z < R 是一个开区域； z = R 为边界点； z ≤ R 是一个闭区域。 ◼ 全平面：不包括无穷远点的整个复平面，也称复平面。 ◼ 闭平面：包含无穷远点的整个复平面，也称扩充复平面。 ◼ 单连通区域：边界一条简单闭合曲线构成的区域，如 z < R ◼ 复连通区域：边界由多于一条闭合曲线构成，如：R1 < z < R2. 关于单连通与复连通： 区域 D 中任意一条闭合曲线，能否通过连续变形缩成一个点，在变形过程中，该曲线上 的任意点始终不落在区域 D 之外。 可以通过做割线把复连通区域变为单连通区域。 L0 L1 L2 几点补充： ◼ 通常用 G 来表示开区域， G 来表示闭区域 ， G = G + C， C 为边界点； ◼ 对复平面，无穷远点称为其边界点，对扩充复平面，无穷远点是内点； ◼ 扩充复平面是唯一一个无边界点的区域； ◼ 有限远点 z0 的 δ 邻域为满足 z - z0 < δ 的所有点； ◼ 无穷远点的 δ 邻域为满足 z > 1/ δ 的点，即：以原点为中心 ，1/δ 为半径的圆之外的点集； ◼ 区域边界正向：沿着边界走，区域在左手边 ☺ 例题 试画出 0 < argz - z + < π 4 的区域 w = z - z + = x2 + y2 - 1 x2 + (y + 1)2 - 2 x x2 + (y + 1)2 = u + v 依题意： u > 0, 0 < v < u, 得：x2 + y2 - 1 > 0, -2 x > 0, x2 + y2 - 1 > -2 x，得到如图绿色区域。 z01a.nb 9