A不是满秩矩阵情形 多设rak(A)=r≤n,则存在置换矩阵P,使得AP的前r列是线性无关。 因此我们可以对AP进行QR分解 推论设A∈Cmxm(m≥n),且秩为r(0≤r≤n),则存在一个置换矩阵P,使得 AP-Q R11B12 0 0 J nxn 其中Q∈Cmxn单位列正交，B11∈Crxr是非奇异上三角矩阵. 么上述结论也可简化为 AP=Q[R1R2],其中O∈Cmxw http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 9/25
A 不是满秩矩阵情形 设 rank(A) = r ≤ n, 则存在置换矩阵 P, 使得 AP 的前 r 列是线性无关. 因此我们可以对 AP 进行 QR 分解. 推论 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 且秩为 r (0 ≤ r ≤ n), 则存在一个置换矩阵 P, 使得 AP = Q [ R11 R12 0 0 ] n×n , 其中 Q ∈ C m×n 单位列正交, R11 ∈ C r×r 是非奇异上三角矩阵. ✍ 上述结论也可简化为 AP = Q˜ [ R11 R12] , 其中 Q˜ ∈ C m×r http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/25
几点注记 白若A是实矩阵，则Q和R都可以是实矩阵 如果A是非奇异的方阵，则QR分解也可以用来求解线性方程组Ax=b 基于GS正交化的QR分解算法的运算量大约为2mn2. http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 10/25
几点注记 ✍ 若 A 是实矩阵, 则 Q 和 R 都可以是实矩阵. ✍ 如果 A 是非奇异的方阵, 则 QR 分解也可以用来求解线性方程组 Ax = b. ✍ 基于 GS 正交化的 QR 分解算法的运算量大约为 2mn2 . http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 10/25