由Gram-Schmidt正交化过程可知 T2j a1=T1191,a5=T1j91+T2592+…+Tj9=[91,92,…,95l 记Q=[q1,q2,,9nl,R=[rij]nxn,其中 rijl qiaj, fori≤j T= (3.2) 0, fori>j 则 T11 T12 Tin T22 T2n [a1,a2,,an=[q1,92,,9n ,即A=QR Tn-1n Tnn http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 6/25
由 Gram-Schmidt 正交化过程可知 a1 = r11q1, aj = r1jq1 + r2jq2 + · · · + rjjqj = [q1, q2, . . . , qj ] r1j r2j . . . rjj 记 Q = [q1, q2, . . . , qn], R = [rij ]n×n, 其中 rij = q ∗ i aj , for i ≤ j 0, for i > j (3.2) 则 [a1, a2, . . . , an] = [q1, q2, . . . , qn] r11 r12 · · · r1n r22 · · · r2n . . . rn−1,n rnn , 即 A = QR http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/25
都A不满秩情形：参见讲义。 多A满秩时的QR分解的存在唯一性：板书. http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 7/25
A 不满秩情形: 参见讲义. A 满秩时的 QR 分解的存在唯一性: 板书. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 7/25
QR分解的另一种形式 有时也将QR分解定义为：存在酉矩阵Q∈Cmxm使得 A=QR 其中R [B1 Cmxn是上三角矩阵 http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 8/25
QR 分解的另一种形式 有时也将 QR 分解定义为: 存在酉矩阵 Q ∈ C m×m 使得 A = QR , 其中 R = [ R11 0 ] ∈ C m×n 是上三角矩阵. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 8/25
A不是满秩矩阵情形 多设rak(A)=r≤n,则存在置换矩阵P,使得AP的前r列是线性无关。 因此我们可以对AP进行QR分解 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 9/25
A 不是满秩矩阵情形 设 rank(A) = r ≤ n, 则存在置换矩阵 P, 使得 AP 的前 r 列是线性无关. 因此我们可以对 AP 进行 QR 分解. 推论 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 且秩为 r (0 ≤ r ≤ n), 则存在一个置换矩阵 P, 使得 AP = Q [ R11 R12 0 0 ] n×n , 其中 Q ∈ C m×n 单位列正交, R11 ∈ C r×r 是非奇异上三角矩阵. ✍ 上述结论也可简化为 AP = Q˜ [ R11 R12 ] , 其中 Q˜ ∈ C m×r http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/25
A不是满秩矩阵情形 多设rak(A)=r≤n,则存在置换矩阵卫，使得AP的前r列是线性无关。 因此我们可以对AP进行QR分解 推论设A∈Cmxm(m≥n,且秩为r(0≤r≤n,则存在一-个置换矩阵P,使得 AP=Q R11R12 00 nxn 其中Q∈Cmxn单位列正交，R1∈Crxr是非奇异上三角矩阵. http://nath.ecnu.edu.cn/-jypan 9/25
A 不是满秩矩阵情形 设 rank(A) = r ≤ n, 则存在置换矩阵 P, 使得 AP 的前 r 列是线性无关. 因此我们可以对 AP 进行 QR 分解. 推论 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 且秩为 r (0 ≤ r ≤ n), 则存在一个置换矩阵 P, 使得 AP = Q [ R11 R12 0 0 ] n×n , 其中 Q ∈ C m×n 单位列正交, R11 ∈ C r×r 是非奇异上三角矩阵. ✍ 上述结论也可简化为 AP = Q˜ [ R11 R12 ] , 其中 Q˜ ∈ C m×r http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 9/25