非完整基理论及应用 谢锡麟 所以,有 (p) (q)=( V更 +lI. O (q)+ TiL C(m)C(s)C rcls go aCi (n) (9) ar(s) (q) (n)cl ac 更 as P()+risc(s)C(m) Cl,ck aclp a)arl axl ax(s)*/(p) s(m) (q) ((m)()-r(n)db) (s)(q) 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证.对于更高阶的张量,可以用类似的步骤进行 4从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时,完整基常为完整的正交基,亦即(91,93)8=0,当i≠j,且非 完整基构造为原完整正交基的单位化,即 9a=:C1 式中 当i √9i,当 全y9i 当i≠j 当i≠ 上式中对i不求和.由此非完整基为单位正交基,亦即有(9903=
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 所以, 有 ∇(s)Φ (p) · (q) = C l (s)C (p) i C j (q)∇lΦ i ·j = C l (s)C (p) i C j (q) [ C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) ] = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) Φ (m) · (q) + C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) Φ (p) · (n) + Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i Φ (m) · (q) − Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + ∂ ∂x(s) ( C (p) i C i (m) ) − C i (m) ∂C(p) i ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + Γ (p) (s)(m) Φ (m) · (q) − Γ (n) (s)(q) Φ (p) · (n) . 由此便对向量和仿射量的情形进行了验证. 对于更高阶的张量, 可以用类似的步骤进行. 4 从完整的正交系到非完整的单位正交系 在实际应用非完整基理论时, 完整基常为完整的正交基, 亦即 (gi , gj )R3 = 0, 当 i ̸= j, 且非 完整基构造为原完整正交基的单位化, 即 g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j , 式中 C j (i) , 1 √gii , 当 i = j, 0, 当 i ̸= j, C (i) j , 1 √ g ii = √gii, 当 i = j, 0, 当 i ̸= j. 上式中对 i 不求和. 由此非完整基为单位正交基, 亦即有 ( g(i) , g(j) ) R3 = δij . 6
非完整基理论及应用 谢锡麟 定理41(单位正交基中 Christoff号°) r0=90()ro0e=rw2 Tpqp)=-I(ppq) a In gpp √9qm,当1=p≠q, 其他情况. 证明首先,计算完整正交系下第二类 Christoffel符号 E=9ms=9NWws、l 1/0 grr2 dry xsl m) 分以下几种情况进行讨论 ≠q≠r,此时F 2.p=q≠r或者p=r≠q或者q=r≠p时,有 2 02r/(a) 2 grr a 1109m(x) 1109 2 gm drq O?(a); TPp=-Ip pp,p= 1 1 agpp 然后,计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel符号(在处理中仍先保留协变与逆变 之间的区别) 1.p≠q≠r时,有rp=0 2.p=q≠r或者p=r≠q或者q=r≠p时,有 11 dg (P)(P) gpp 2 grr arr 11 Opp(a dr) In r=1(11 (P)(q Vipp(29pp dzy) 1aln√9P (P)(q)一 √9P gpp ysgg azp 1 aIn a In Oxp(a) /9pp dxp(a)=0 ①在单位正交系中,协变基与逆变基重合,藉此张量的协变和逆变分量亦无差别
张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 定理 4.1 (单位正交基中 Christoffel 符号➀). Γ (l) (p)(q) = g (l)(k)Γ(p)(q),(k) =: Γ⟨pql⟩ = Γ⟨pqp⟩ = −Γ⟨ppq⟩ = 1 √gqq ∂ ln √gpp ∂xq , 当 l = p ̸= q, 0, 其他情况. 证明 首先, 计算完整正交系下第二类 Christoffel 符号： Γ r pq = g rsΓpq,s = g rrΓpq,r = 1 grr 1 2 ( ∂gpr ∂xq + ∂gqr ∂xp − ∂gpq ∂xr ) , 分以下几种情况进行讨论: 1. p ̸= q ̸= r, 此时 Γ r pq = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 Γ r pp = 1 grr Γpp,r = 1 grr ( − 1 2 ∂gpp ∂xr ) (x) = − 1 2 1 grr ∂gpp ∂xr (x), Γ p qp = Γ p pq = 1 gpp Γpq,p = 1 gpp 1 2 ∂gpp ∂xq (x) = 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xq (x) = ∂ ln √gpp ∂xq (x); 3. p = q = r 时, 有 Γ p pp = 1 gpp Γpp,p = 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xp (x) = ∂ ln √gpp ∂xp (x). 然后, 计算对应的非完整单位正交系下的第二类 Christoffel 符号 (在处理中仍先保留协变与逆变 之间的区别): 1. p ̸= q ̸= r 时, 有 Γ (r) (p)(q) = 0; 2. p = q ̸= r 或者 p = r ̸= q 或者 q = r ̸= p 时, 有 Γ (r) (p)(p) = 1 gpp √ grrΓ r pp = √grr gpp ( − 1 2 1 grr ∂gpp ∂xr ) = − 1 2 1 √grr 1 gpp ∂gpp ∂xr (x) = − 1 √grr ∂ ∂xr ln √gpp = −∂(r) ln √gpp, Γ (p) (p)(q) = 1 √gqq Γ p pq = 1 √gpp ( 1 2 1 gpp ∂gpp ∂xq (x) ) = 1 √gqq ∂ ln √gpp ∂xq (x) = ∂(q) ln √gpp, Γ (q) (p)(q) = 1 √gpp Γ q pq − 1 √gpp 1 √gqq ∂ √gqq ∂xp = 1 √gpp ∂ ln √gqq ∂xp (x) − 1 √gpp ∂ ln √gqq ∂xp (x) = 0; ➀ 在单位正交系中, 协变基与逆变基重合, 藉此张量的协变和逆变分量亦无差别. 7