n(x+n)=-h(-y+2)+hC (x+6)(-y+24)=C 这就是时刻t。的流线方程的一般形式。 根据题意，t,=1时，x=0,y=0,因此C=2 (x+10(-y+2)=2 yyy 【3一4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为p=800kg/m,水银密度 为p’=13600kg/,水银压差计的读数△h=60m,求该点的流速u。 【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1一0。这条流线从 上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条 流啡标动时，速府是发生恋化的。在管口上游远外。流速 1。当流体靠近管口时，流速家 渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为，流体在管口的速度虽然变化为0，但流 体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过 管口之后，速度逐渐加大至u。 综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为山，压强为P,在点0，速度为0， 压强为，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是p+=P0 由此可见，只要测出压差为。一P,就可以求出速度u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为1。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流， 沿管截面压强的变化服从静压公式，因此， p-pg(1+Ah)+p'ghh po-pel Po-p=(p'-p)gAh 6列= 4= -02ga为 p 式中，p和p·分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，△h的单位应该是用m表示 △h=0.06m,得速度为u=4.3391m/s 5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有 个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大， 压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度p=1.25kg/m°，管径d=400mm,dk=600m, 水柱h=45m,试计算体积流量Q。 11
11 这就是时刻 to 的流线方程的一般形式。 根据题意，to＝1 时，x＝0，y＝0，因此 C＝2 【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为ρ＝800kg/m3，水银密度 为ρ’＝13600 kg/m3，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速 u。 【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线 1－0。这条流线从 上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条 流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为 u。当流体靠近管口时，流速逐 渐变小，在管口处的点 0，速度变为 0，压强为 po，流体在管口的速度虽然变化为 0，但流 体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点 0 开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过 管口之后，速度逐渐加大至 u。 综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点 1，速度为 u，压强为 p，在点 0，速度为 0， 压强为 po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是 由此可见，只要测出压差为 po－p，就可以求出速度 u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为 l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流， 沿管截面压强的变化服从静压公式，因此， 式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，Δh 的单位应该是用 m 表示， Δh＝0.06m，得速度为 u＝4.3391m/s。 【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一 个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大， 压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度 ρ＝1.25kg/m3，管径 d1＝400mm，d2＝600mm， 水柱 h＝45mm，试计算体积流量 Q
【解】截面1一1的管径小，速度大，压强低：截面2-2接触大气，可应用伯务利方程，即 乃1+5p=Pa+5p 利用连续方程，由上式得 d22 d1 -(学1=-A 此外细管有液柱上升，说明低于大气压，即 Pa=p+p'gh 式中，p·是水的密度，因此 o1-(2y1=p 由d,=400mm,d=600mm可以求出A和A,而p、p·、h皆己知，可算得 2=29.6618m1s 2=2A2=3.7274m31s 【3一6】如图所示，水池的水位高h=4如，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y,如果从 孔口射出的水流到达地面的水平距离x=2m,求y的值，如果婴使水柱射出的水平距离最远， 则x和y应为多少？ 【解】孔口的出流速度为 v=2gy 流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质 点从孔口降至地面所需的时间为t,则 x=2 h-y-2g 消去t,得 4yh-)=x入.即4-力=1 解得 y=(2±3)m 如果要使水柱射出最远，则因为 4y(h-y)=x2 x是y的函数，当x达到极大值时，dx/dy=0,上式两边对y求导，得 40h-20=2x=0
12 【解】截面 1－1 的管径小，速度大，压强低；截面 2－2 接触大气，可应用伯努利方程，即 利用连续方程，由上式得 此外细管有液柱上升，说明 p1 低于大气压，即 式中，ρˊ是水的密度，因此 由 d1＝400mm，d2＝600mm 可以求出 A1 和 A2，而 ρ、ρˊ、h 皆已知，可算得 【3－6】如图所示，水池的水位高 h＝4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为 y，如果从 孔口射出的水流到达地面的水平距离 x＝2m，求 y 的值。如果要使水柱射出的水平距离最远， 则 x 和 y 应为多少？ 【解】孔口的出流速度为 流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质 点从孔口降至地面所需的时间为 t，则 消去 t，得 ，即 解得 如果要使水柱射出最远，则因为 x 是 y 的函数，当 x 达到极大值时，dx/dy＝0，上式两边对 y 求导，得
y-th 【3-7】如图所示消防水枪的水管直径4=0.12， 喷嘴出口直径d=0.04,消防人员持 此水枪向距离为1=12血，高h=15a的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有V,=10m/s的速 度，试求水管的相对压强和水枪倾角日。 【解】解题思路：己知V,利用截面2-2和3-3的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面1 一1和2-2的伯努利方程可以求出水管的相对压强一P。水流离开截面2一2以后可以视 作斜抛运动， 用有关公式就可以求出倾角· 对水射流的截面2一2和藏面3-3，压强相同 将h、V,代入得V2=19.8540m/s 对于喷嘴内的水流面1一1和截面2一2，有 n+2p=n+p明 式中，P2=p。利用连续方程，则有 n-.=5pg1-()'1=1.466x10Pa 喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V:cos0和Vasin0,利用斜抛物体运动公式，不 难得到上抛高度h和平抛距高1的计算公式分别为 1 h=%m-28 1=2cos 消去时间t得到 h=1am-g21 2V cos20 代入数据，又1+tam2=sc28 上式化为tam28-6.6997tam8+9.3746=0 8=78.01°，63.33 【3一8】如图所示，一个水平放置的水管在某处出现日=30°的转弯，管径也从d=0.3m渐 变为-02 当流量为Q=0.1/s时，测得大口径管段中心的表压为2.94×10Pa,试求 为了固定弯管所需的外力。 【解】用p‘表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面1一1的表压p:’=一p,=2.94 ×10P,截面2一2的表压p·可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力，则可以利 用总流的动量方程求出。 取如图所示的控制体，截面1一1和2一2的平均流速分别为 %=21A1=14147m1s %2=Q14=3.1831m/s
13 【3－7】如图所示消防水枪的水管直径 d1＝0.12m，喷嘴出口直径 d2＝0.04m，消防人员持 此水枪向距离为 l＝12m，高 h＝15m 的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有 V3＝10m/s 的速 度，试求水管的相对压强和水枪倾角θ。 【解】解题思路：已知 V3 利用截面 2－2 和 3－3 的伯努利方程就可以求出 V2。而利用截面 1 －1 和 2－2 的伯努利方程可以求出水管的相对压强 p1－pa。水流离开截面 2－2 以后可以视 作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角θ。 对水射流的截面 2－2 和截面 3－3，压强相同， 将 h、V3 代入得 V2＝19.8540m/s。 对于喷嘴内的水流截面 1－1 和截面 2－2，有 式中，p2＝pa。利用连续方程，则有 喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是 V2cosθ和 V2sinθ，利用斜抛物体运动公式，不 难得到上抛高度 h 和平抛距离 l 的计算公式分别为 消去时间 t 得到 代入数据，又 上式化为 【3－8】如图所示，一个水平放置的水管在某处出现θ＝30o 的转弯，管径也从 d1＝0.3m 渐 变为 d2＝0.2m，当流量为 Q＝0.1m3 /s 时，测得大口径管段中心的表压为 2.94×104 Pa，试求 为了固定弯管所需的外力。 【解】用 pˊ表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面 1－1 的表压 p1ˊ＝p1－pa＝2.94 ×104 Pa，截面 2－2 的表压 p2ˊ可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力，则可以利 用总流的动量方程求出。 取如图所示的控制体，截面 1－1 和 2－2 的平均流速分别为
弯管水平放置，两截面高程相同，故 n+p=p+2p明 P=Pm-P.=n-n.+2p-)=25335x10Pa 总流的动量方程是 F=pQ(v,-V) 由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体，x,y方向的动量方 程是 F-p2 A sin e=pova sin 8 -F,+p A-p2 A cos0=pe(V cos0-V) 代入数据，得 E=1254W, R=557N 【3一9】宽度B=1的平板闸门开启时，上游水位=2m,下游水位=0.8m,试求固定闸 门所需的水平力F。 【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面1一1应在闸门上游足够远处 以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游 的截面2一2应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中， 总压力可按平板 水压力计算。控制体的截面1-1上的总压力为1/2Ph,Bh,它是左方水体作用在控制面 一1上的力，方向从左到右。同样地，在控制面2一2上地总压力为1/2phB,它是右方 水体作用在控制面2一2上的力，方向从右到左。另外，设固定平板所需的外力是F,分析 控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是下，方向从右向左。 考虑动量方程的水平投影式： 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出： %B=%2B 阳2g名+是+空 名+色+ pg 2g 由以上两式得 2g(%-%) 巧=-1a =5.2931m/s =1 2=2.1172m1s 将已知数据代入动量方程，得 F=5Pg(-)B-ph,8%,-)=302582W 14
14 弯管水平放置，两截面高程相同，故 总流的动量方程是 由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体，x，y 方向的动量方 程是 代入数据，得 ， 【3－9】宽度 B＝1 的平板闸门开启时，上游水位 h1＝2m，下游水位 h2＝0.8m，试求固定闸 门所需的水平力 F。 【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面 1－1 应在闸门上游足够远处， 以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游 的截面 2－2 应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静 水压力计算。控制体的截面 1－1 上的总压力为 1/2ρgh1Bh1 ，它是左方水体作用在控制面 1 －1 上的力，方向从左到右。同样地，在控制面 2－2 上地总压力为 1/2ρgh2Bh2，它是右方 水体作用在控制面 2－2 上的力，方向从右到左。另外，设固定平板所需的外力是 F，分析 控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是 F，方向从右向左。 考虑动量方程的水平投影式： 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出： 由以上两式得 ； 将已知数据代入动量方程，得
我们还可以推导F的一般表达式。 2g-)=p昭80-2) 上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V,因而 2%-D=p%,80-色，2g4- A1-21) =2pg44B4-色 名1+2 将此式代入动量方程得 R=g84: 克，+h, 【3一10】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为d速度为此射流冲击一个 运动 片，在叶 片上流速方向转角为，如果叶片运动的速度为，试求： (1)叶片所受的冲击力： (2)水流对叶片所作的功率； (3)当“取什么值时，水流作功最大？ 【解】射流离开喷嘴时，速度为K,截面积为左Ⅱ/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶 片的速度为一山，显然，水流离开叶片的相对速度也是一 、而流裁面积仍为。采压 国结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图 所示，由动量方程得 F=p(v-u)2A(1+cos0) V- F=p(-u)"Asin 叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为： P=uF,=p(v-u)2Au(1+cos0) 兰固定时，功率P是U的函数。令 =0:W-02-2W-w=0 因此，当=3时，水流对叶片所作的功率达到极大值。 【3一11】如图所示，两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直 径分别为d和d,试求散开角日与(、的关系。如果话=0.7d,日是多少度？不计重力 作用。 【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程， 各射流截面的流速相等。 汇合流是一个轴对称的伞状体，其藏面积逐渐减小，但汇合流量总是不变的，它等于两个射 流量日和&之和。 e=9,+e,=r(d+ 作用在水体上的外力和为零，根据动量方程，可以 求出张角日与d、d的关系。 pev cose-lpev-pev]=0
15 我们还可以推导 F 的一般表达式。 上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度 V2，因而 将此式代入动量方程得 【3－10】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为 d，速度为 V。此射流冲击一个 运动叶片，在叶片上流速方向转角为θ，如果叶片运动的速度为 u，试求： （1）叶片所受的冲击力； （2）水流对叶片所作的功率； （3）当 u 取什么值时，水流作功最大？ 【解】射流离开喷嘴时，速度为 V，截面积为 A=Πd 2 /4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶 片的速度为 V－u，显然，水流离开叶片的相对速度也是 V－u。而射流截面积仍为 A。采用 固结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图 所示，由动量方程得 叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为： 当 V 固定时，功率 P 是 u 的函数。令 ： 因此，当 u＝V/3 时，水流对叶片所作的功率达到极大值。 【3－11】如图所示，两股速度大小同为 V 的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直 径分别为 d1 和 d2，试求散开角θ与 d1、d2 的关系。如果 d2 ＝0.7d1，θ是多少度？不计重力 作用。 【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程，各射流截面的流速相等。 汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总是不变的，它等于两个射 流量 Q1 和 Q2 之和。 作用在水体上的外力和为零，根据动量方程， 可以 求出张角θ与 d1、d2 的关系