【2-7】如图所示，底面积为b×b=0.2m×0.2如的方口容器，自重G=40N,静止时装水高 度h=0.15血，设容器在荷重W=200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数 =0.3,试求保证水不能溢出的容器的最小高度， 【解】解的关锭在于 求出加速度 d ,如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率 考虑水、容器和重物的运动。系统的质量M和外力分别为 M=pbh+(G+W)/g F=W-f(G+pgb) 因此，系统的重力加速度为 a= F_-f(G+gb2) g 代入数据得a=5.5898m3 pgb h+G+W 容器内液面的方程式为2=-2 坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见， 当x=-b/2时，z=-h, 代入上式，H=h+ =0.2072 可见，为使水不能溢出，容器最小高度为0.207m。 【2一8】如图所示，液体转速计由一个直径为d的圆简、活塞盖以及与其连通的直径为d 两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为R,当转速为⊙时，活塞比静 止时的高度下降了h,试证明： =R2-218 2g1+3d1d, 【解】活寒盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，整 答湾面上升 设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为，竖管的液面高度设为H 此时，液体总压力等于盖子重量，设为G: G=P宠出一学皮转，活塞盖下降离度为两文整省的液面上升病度为品 6
6 【2－7】如图所示，底面积为 b×b＝0.2m×0.2m 的方口容器，自重 G＝40N，静止时装水高 度 h＝0.15m，设容器在荷重 W＝200N 的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数 f＝0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。 【解】解题的关键在于求出加速度 a。如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。 考虑水、容器和重物的运动。系统的质量 M 和外力分别为 因此，系统的重力加速度为 代入数据得 a = 5.5898 m/s 2 容器内液面的方程式为 坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见， 当 x＝－b/2 时，z＝H－h， 代入上式， 可见，为使水不能溢出，容器最小高度为 0.207m。 【2－8】如图所示，液体转速计由一个直径为 d1 的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为 d2 两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为 R，当转速为ω时，活塞比静 止时的高度下降了 h，试证明： 【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，竖 管液面上升。 设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为 h1，竖管的液面高度设为 H1。 此时，液体总压力等于盖子重量，设为 G： 旋转时，活塞盖下降高度为 h，两支竖管的液面上升高度为 H
液体压强分布的通式为 2g-)+c 将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数C。当工 =R,z=h十+h时，p=p, @22 -(H1-h+H+]+C 因此，液体压强分布为 2-.=阳C22-8+以-4+H+别 旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于蓝子重量，即G=户p-P,儿20 因盖子下表面的相对压强为-P山=P阳26凸-：+H,一岛+H+】 2g 代入G式并进行积分，得到 g=烟停-用+停r以，-4+H+a 22 G=g出-A 代入上式，化简得 Ed- 心公-R叫+H+A=0 2g8 由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此 2H= -所以有 m2R2-d18 4 4 2g1+2a1a, R- 【2一9】如图所示，U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R和R,其液面高差为△h, 试求o的表达式。如果R1=0.08a,R=0.20m,△h=0.06m,求o的值。 【解】两竖管的液面的压强都是，（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线 所示。设液面方程为 2g +C 不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为山.现根 据 液面边界条件进行计算。 当r=R,z=h及r=R,2=h十△h时 为=及+C,为+h=28 -+C 2g 2g △h 7
7 液体压强分布的通式为 将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数 C。当 r ＝R，z＝H1-h1＋H + h 时，p＝pa， 因此，液体压强分布为 旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即 因盖子下表面的相对压强为 代入 G 式并进行积分，得到 代入上式，化简得 由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此 所以有 【2－9】如图所示，U 形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为 R1和 R2，其液面高差为Δh， 试求ω的表达式。如果 R1＝0.08m，R2＝0.20m，Δh＝0.06m，求ω的值。 【解】两竖管的液面的压强都是 pa（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线 所示。设液面方程为 不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为 h。现根 据 液面边界条件进行计算。 当 r＝R1，z＝h 及 r＝R2，z＝h＋Δh 时 ；
两式相减得 h= 2g 所以 2gA 【2-10】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度H=0.5@ 底半径R=0.6m,自重G=1500N,航灯重=500N,用竖杆架在灯座上，高度设为z。若要 求浮体稳定，z的最大值应为多少？ 【解】浮体稳定时要求倾半径r大于偏心距e,即> 先求定倾半径r=/，浮体所排开的水的体积V可根据吃水深度h计算。 PgR=G+，=G+ R =0.1803mr=J1=4 R2 思πR 4=0492 再求偏心距，它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为C,它到圆柱体下表面的距离设 为e,则 。=。-2hG+wh。=2GH+WH+) 根架浮体是定的要求，>。=6一有 he <r+ G+5G班+WH+别<r+ 1 化简得 2<+0+号-CH-H 2 ,h的值己经算出，代入其它数据，有z<1.1074细 【2-11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径D=25cm,水泵柱塞直径d=5cm,密封 圈高度h=2.5cm,密封圈的摩擦系数f=0.15,压力机柱寨重G=981N,施于水泵柱塞上的 总压力P=882N,试求压力机最后对重物的压力F。 【解P所形成的流体静压力 882 Ar14d-0785x005=49427N1m2 压力机柱寒上的总压力 B=p4=pπ14D2=449427×0.785×0.252=22050N 静压力作用在密封圈上的总压力为ph,方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力 T=pmD%=0.15×449427×3.14×0.25×0.025=1323W
8 两式相减得 所以 【2－10】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度 H＝0.5m， 底半径 R＝0.6m，自重 G＝1500N，航灯重 W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为 z。若要 求浮体稳定，z 的最大值应为多少？ 【解】浮体稳定时要求倾半径 r 大于偏心距 e，即 r>e 先求定倾半径 r＝J/V，浮体所排开的水的体积 V 可根据吃水深度 h 计算。 ， 再求偏心距 e，它等于重心与浮心的距离。设浮体的重心为 C，它到圆柱体下表面的距离设 为 hC ，则 根据浮体稳定的要求 有 化简得 r，h 的值已经算出，代入其它数据，有 z<1.1074m 【2－11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径 D＝25cm，水泵柱塞直径 d＝5cm，密封 圈高度 h＝2.5cm，密封圈的摩擦系数 f＝0.15，压力机柱塞重 G＝981N，施于水泵柱塞上的 总压力 P1=882N，试求压力机最后对重物的压力 F。 【解】：P1 所形成的流体静压力 压力机柱塞上的总压力 静压力作用在密封圈上的总压力为 p∏Dh ，方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力
故压力机对重物的压力为 F=乃-G-T=22050-981-1323=197462N=19.75kW P 第3、4章流体运动的基本概念及方程 【3一1】已知平面流动的速度分布为 y=1-)cos0,%=-1+为)m9 试计算点(0,1)处的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。 u=v,cos0-vo sin 8=1+(sin28-cos2) c02in 0c0:0 将 r2=x2+y2,im8=y1r,cos8=x1r代入，得 =1+少22 2xy x2+y2)2 v=+y了 所以有： 在点(0,1)处， u(0,0=2,v(0,1)=0 也.2-3lhn=0 0x(x2+y2)3 lo=-2 0x(x2+y2)3 9
9 故压力机对重物的压力为 第 3、4 章 流体运动的基本概念及方程 【3－1】已知平面流动的速度分布为 ， 试计算点（0，1）处的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。 将 ， ， 代入，得 所以有： 在点（0，1）处，
算得 ax=0,a,=-4 【3一2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： (1) =-(2x0y+x),y=y2+y-x2 (2) y=2rcos20+月，=-2m28 (3) 【解】： (1) 密-0y+0.多y.0多0 (2) an2-号e1cos9+0=4rcos29 ar 需=+co29 82+6-0 (3)从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关 计算，但求导过程较为复杂。 y,=u6os0+vm0=月 。=-usim8+vcos8=0 【3一3】已知平面流场的速度分布为 4=x+t,y=一y+之，试求t=1时经过坐标原点的流线方程。 【解】对于固定时刻。，流线的微分方程为 dx x+6-y+20 积分得
10 算得 ， 【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： （1） ， （2） ， （3） ， 【解】: （1） ， ， （2） （3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关 计算，但求导过程较为复杂。 ， 【3－3】已知平面流场的速度分布为 ， ， 试求 t＝1 时经过坐标原点的流线方程。 【解】对于固定时刻 to，流线的微分方程为 积分得