材料力学教索第4讲教学方案拉压杆的变形与变形能基本内容拉压杆的变形与变形能。1、熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算方法。教2、掌握横向变形和泊松比的概念。学目3、掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算。的4、理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形的方法。重本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计点算。、难点本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形
材 料 力 学 教 案 1 第 4 讲 教学方案 ——拉压杆的变形与变形能 基 本 内 容 拉压杆的变形与变形能。 教 学 目 的 1、熟练掌握各种拉压杆（等直杆、阶梯杆、变截面杆）变形的计算 方法。 2、掌握横向变形和泊松比的概念。 3、掌握应变能密度的概念，熟练变形能的计算。 4、理解利用小变形假设，用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定 行架结构变形的方法。 重 点 、 难 点 本节重点：拉压杆的变形与变形能、简单平面静定行架结构变形的计 算。 本节难点：用切线代替圆弧的方法求解简单平面静定行架结构变形
讲s2-8拉伸或压缩时的变形1.沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为1，横截面面积为A。在轴向力P作用下，长度由/变为1。杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为PP4PP图2-23轴向变形N=l,-1(1)由于杆内各点轴向应力α与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长△/除以原长l：Y(2) 由α=Es得N-EN所以A/=NPI(2-6)EA"EA式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长△/与拉力P和杆件的原长度I成正比，与横截面面积A成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中EA是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA越大，则变形越小，将EA称为抗拉（压）刚度。2.横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为b，变形后相应尺寸变为b，则横向变形为Ab= b, -b横向线应变可定义为5A6b由实验证明，在弹性范围内2
第 四 讲 2 §2-8 拉伸或压缩时的变形 1．沿杆件轴线的轴向变形 如图 2-23，设等直杆的原长为 l ，横截面面积为 A 。在轴向力 P 作用下，长度由 l 变为 1 l 。 杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为 l = l − l 1 （1） 由于杆内各点轴向应力 与轴向应变 为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长 l 除 以原长 l ： l l = （2） 由 = E 得 l l E A N = 所以 EA Pl EA Nl l = = （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长 l 与拉力 P 和杆件的原长度 l 成正比， 与横截面面积 A 成反比。这是胡克定律的另一种表达形式。式中 EA 是材料弹性模量与拉压杆件 横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将 EA 称为抗拉（压）刚度。 2．横向变形 若在图 2-23 中，设变形前杆件的横向尺寸为 b ，变形后相应尺寸变为 1 b ，则横向变形为 b = b1 −b 横向线应变可定义为 b b = 由实验证明，在弹性范围内
学教索材料力_-±(2-7)u为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号μ，称为泊松比或横向变形系数。 与的关系为=(2-8)三0(z)=)3.变截面杆的伸长变形A(g)dxAtdAALXAP例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？dAx+Co: A=Ce"(A+ dA)o = αA + yAdx :积分：In A=Ix在x=0处A=Ao，所以：C。=A。:A-Aoea即：A按指数函数变化。例2-6图2-25所示为变截面杆，已知BD段MA0A =2 cm2，DA 段 A, =4 cm2,P=5 kN,P,=10kN。求AB杆的变形NAB。（材料的P2E=120×10°’MPa)-50十5050-解：首先分别求得BD、DC、CA三段的轴力N，，N2，周2-25N,为N,=-5kN:N,=-5kN:N,=5kN
材 料 力 学 教 案 3 = （2-7） 为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。由于 为反映材料横向变形能力的材料弹性常 数，为正值，所以，一般冠以负号 = − ，称为泊松比或横向变形系数。 与 的关系为 = − （2-8） 3．变截面杆的伸长变形 ( ) ( ) A(x) N x x = 例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？ (A+ dA) =A+Adx ； dx A dA = 积分： 0 ln A = x + C ； x A C e = 0 在 x = 0 处 A = A0 ，所以： P C0 = Ao = ； x x e P A A e = 0 = 即： A 按指数函数变化。 例 2-6 图 2-25 所示为变截面杆，已知 BD 段 A1 = 2 cm2 ， DA 段 A2 = 4 cm2 ， P1 = 5 kN ， P2 =10 kN 。 求 AB 杆的 变 形 AB l 。（材 料 的 3 E = 12010 MPa） 解：首先分别求得 BD、DC、CA 三段的轴力 N1，N2 ， N3 为 N1 = −5 kN ； N2 = −5 kN； N3 = 5 kN
第四讲N-5×10×0.5=-1.05×10-4 (m)NBD = N, =EA120×10°×2×10-=5x10×0.5N,l,Npc = Nl, ==-0.52×10-4（m)EA120×10×4×10-45×10×0.5N.l3lc = Nl, ==0.52×10-4（m）120×10°×4×10-EA,NIAB =AI, +Al, + A, = -1.05×10- (m)AAs的负号说明此杆缩短。变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明确，如例2-6中因为8=0，则NAB=Og。对a于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使变形和位移之间还应满足一定的几何关系。例2-7图2-26a所示杆系结构，已知BC杆圆截R.M面d=20mm，BD杆为8号槽钢，[o]=160MPaE=200GPa，P=60kN。求B点的位移。图2-26解：（1）计算轴力，取节点B（图b）由ZX=0，得(1)N, cosα-N, =0由ZY=0，得(2)N, sinα-P=0所以(压)N, = 75kNN, = 45kN(拉)(2）计算变形由BC:CD:BD=3:4:5,得BD=l,=2m。4
第 四 讲 4 4 9 4 3 1 1 1 1 1.05 10 120 10 2 10 5 10 0.5 − − = − − = = = EA N l l l BD （m） 4 9 4 3 2 2 2 2 0.52 10 120 10 4 10 5 10 0.5 − − = − − = = = EA N l l l DC （m） 4 9 4 3 3 3 3 3 0.52 10 120 10 4 10 5 10 0.5 − − = = = = EA N l l l CA （m） 4 1 2 3 1.05 10− lAB = l + l + l = − （m） AB l 的负号说明此杆缩短。 变形与位移：对轴向拉（压）杆，它们的关系明 确，如例 2-6 中因为 A = 0 ，则 AB B l = 。对 于杆系结构，由于变形和结构约束条件，从而使 变形和位移之间还应满足一定的几何关系。 例 2-7 图 2-26a 所示杆系结构，已知 BC 杆圆截 面 d = 20 mm，BD 杆为 8 号槽钢， =160 MPa， E = 200 GPa， P = 60 kN。求 B 点的位移。 解：（1）计算轴力，取节点 B（图 b） 由 X = 0 ，得 N2 cos − N1 = 0 （1） 由 Y = 0 ，得 N2 sin − P = 0 （2） 所以 N2 = 75kN （压） N1 = 45kN （拉） （2）计算变形 由 BC ：CD： BD = 3: 4 : 5 ，得 BD = l 2 = 2 m
材料力学教索BC杆圆截面的面积A,=314×10~m2，BD杆为8号槽钢，由型钢表查得截面面积A=1020×10~m2，由胡克定律求得N45×10×1.2BB, = N,=0.86x10-3（m）EA200×10°×314×10-675×10×2B, =AI, = Nh=-0.732×10-3 (m)200×10°×1020×10-6EA,1)确定 B 点位移。已知△I,为拉便变形，,为压缩变形。设想将托架在节点B拆开（图a)，BC杆伸长变形后变为 BiC，BD 杆压缩变形后变为 B2D。分别以 C点和 D点为圆心，CB,和DB,为半径，作圆弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为是小变形，BiB;和B2B3是两段极其微小的短弧，因而可用分别垂直于BC和BD的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3。BB，即为B点的位移。也可以用图解法求位移BB，。这里用解析法来求位移BB，。注意到三角形BCD三边的长度比为3:4:5，由图c可以求出B,B, =NI, ×+NB,B, =B,B,+B,B,BB,×+B,B,×=4/×+(4l+4)=1.56×10mB点的水平位移BB,= N, =0.86×10-m最后求出位移BB,为BB, =(B,B,) +(BB,) =1.78×10- m
材 料 力 学 教 案 5 BC 杆圆截面的面积 6 2 1 314 10 m − A = ，BD 杆为 8 号槽钢，由型钢表查得截面面积 6 2 2 1020 10 m − A = ，由胡克定律求得 3 9 6 3 1 1 1 1 1 0.86 10 200 10 314 10 45 10 1.2 − − = = = = EA N l BB l （m） 3 9 6 3 2 2 2 2 2 0.732 10 200 10 1020 10 75 10 2 − − = − = = = EA N l BB l （m） 1）确定 B 点位移。 已知 1 l 为拉伸变形， 2 l 为压缩变形。设想将托架在节点 B 拆开（图 a），BC 杆伸长变形 后变为 B1C，BD 杆压缩变形后变为 B2D。分别以 C 点和 D 点为圆心， CB1 和 DB2 为半径，作 圆弧相交于 B3。B3 点即为托架变形后 B 点的位置。因为是小变形，B1B3 和 B2B3 是两段极其微小 的短弧，因而可用分别垂直于 BC 和 BD 的直线线段来代替，这两段直线的交点即为 B3。BB3 即 为 B 点的位移。 也可以用图解法求位移 BB3 。这里用解析法来求位移 BB3 。注意到三角形 BCD 三边的长度比为 3: 4 : 5 ，由图 c 可以求出 2 4 2 1 5 3 B B = l + l 4 3 5 4 B1B3 = B1B4 + B4B3 = BB2 + B2B4 1.56 10 m 4 3 ) 5 3 ( 5 4 3 2 2 1 − = l + l + l = B 点的水平位移 0.86 10 m 3 1 1 − BB = l = 最后求出位移 BB3 为 ( ) ( ) 1.78 10 m 2 3 1 2 3 1 3 − BB = B B + BB =