中国社会科学2012年第4期 BABB COV(RMRr, RM-R) COv(EA, RB)=COVYEA, [R[+BB(RMR,)+eB]3 cov [EA, BB(RM-R)]+cov(EA, Ri)+cov(EA, EB) 将(15)式和(16)式带入(14)式中,则可以得到两种风险资产A和B间的 协方差 COV(RA, RB)-BABBOM (17) A和B各自的方差分别为 var(Ra)=var [Ro+BA(RMR+)+EA]=var [BA(RM-RI)+EA(18) var(RB)=var [R(+BB(RM-RI+EB]=var[BB(RM-R4)+EB](19) 在RM,EA,EB相互独立的条件下: var(ra)=var LBA(RM-Ro)J+var(EA)=BAoM+o2 (20) var(RB)=var LBB(RMR)]+var(EB)=BBoM+o2 (21) 根据相关系数的定义,两种风险资产A和B之间的相关系数为 (RA, RB PA (22) var(RA)√var(RB) 将(17)、(20)和(21)代人(22)中,可得: BABBOM (23) B+√Ban+a 由于BA,B,oa,d2和a2n均为常数,所以: PAB C (24) 其中,C是常数,且满足-1≤C≤1。 命题1得证,即在满足上述条件时,两种风险资产收益的相关系数为常数。 由CAPM推导过程可知,资产组合有效边界的形状仅与资产收益之间的相关系 数有关。而根据命题1可知,在跨期条件下资产的Beta系数保持不变,那么资产收 益之间的相关系数也保持不变,进而决定资产组合的有效边界在跨期条件下将会是 条固定不变的曲线。①换而言之,假设跨期条件下Beta系数不变,等同于假设资 产组合的有效边界在跨期条件下固定不变。另外,根据基金分离定理,在市场均衡 条件下,任意风险资产在市场组合中均会拥有一个非零的比例,且各资产的构成比 例等于其在市场组合中的权重,即权重为市场组合中的相对市值。②在假设Beta系 ①这里的固定具有两层含义:第一,有效边界的形状保持不变;第二,有效边界在期望 收益一风险坐标系中所处的状态保持不变 ②按照基金分离定理:投资者的凤险偏好与该投资者风险资产组合选择的最优构成无关
中 国社会 科 学 2012年第 4期 一pApBcov(RM—Rf，RM—Rf) 一ppe (15) COV(~A，RB)一COY{￡A，[Rf+BB(RM—Rf)+eB]) 一COV[￡A，j3B(RM—Rf)]4-cov(~A，Rf)+cov(~A，￡B) 一 0 (16) 将 (15)式 和 (16)式带人 (14)式 中，则可以得 到两种风 险资产 A和 B间 的 协方差 ： COV(RA，RB)=J3Aj3B (17) A和 B各 自的方差分别为 ： var(RA)一var[Rf+』3A(RM—Rf)+￡A]一var[J3A(RM—Rf)+￡A] (18) var(RB)一var[Rf+pB(RM—Rf)+￡B]一var[13B(RM—Rf)+￡B] (19) 在 RM，￡A，￡ 相互独立的条件下 ： var(RA)一var[8A(RM—R{)]+var(￡A)一p2A62M+o (20) var(RB)一var[13B(RM-Rf)]+var(￡B)一』3B22M+ (21) 根据相关 系数 的定义 ，两种风险资产 A 和 B之间 的相关系数为 ： p’ AB一——一—=二==二二二=二■■===二二二二 (22) √var(RA)√var(RB) 将 (17)、(20)和 (21)代人 (22) 中，可得 ： PA一—．==云2=2 2 2丽2 2 (23。) 由于I3A， n，6 ，62^和 6 均为常数，所以： pAB===C (24) 其 中，C是 常数 ，且满足 一1≤C≤ 1。 命题 1得证 ，即在满足上述条件时，两种风险资产收益的相关系数为常数 。 由 CAPM 推导过程 可知 ，资产组合有效边界 的形状仅与资产收益之间的相关 系 数有关 。而根据命题 1可知 ，在跨期条件下资产的 Beta系数保持不 变 ，那 么资产 收 益之间的相关 系数也保持不变 ，进 而决定资产 组合 的有效 边界在跨 期条件 下将会是 一 条固定不变的曲线 。① 换而言之 ，假设跨 期条件下 Beta系数不变 ，等 同于假设 资 产组合 的有效边 界在跨期条件下 固定不 变 。另外 ，根 据基金 分离定 理 ，在市 场均衡 条件 下 ，任意风险资产在市场组合 中均会拥 有一个非零 的比例 ，且各资产 的构成 比 例等于其在市场组合 中的权重 ，即权重 为市场组合 中的相 对市值 。② 在假 设 Beta系 ① 这 里 的固定具有 两 层 含 义 ：第 一 ，有 效 边 界 的形 状 保 持 不 变 ；第 二 ，有 效 边 界 在 期 望 收 益一 风 险坐标 系 中所 处 的状态保 持 不变 。 ② 按 照基金 分 离定 理 ：投 资者 的风 险偏好 与该 投资 者风 险资产 组合 选择 的最优 构成 无关 。 · 88 ·
资产系统性风险跨期时变的内生性:由理论证明到实证检验 数跨期不变的基础上,有效边界保持固定不变和市场组合资产的构成比例,将是推 导CAPM跨期悖论,进而从理论上证明资产系统性风险跨期时变存在性的重要 基础。 命题2(CAPM跨期悖论):在满足CAPM理论前提的条件下,在跨期条件下如 果市场中所有资产的Bea系数及其流通股份数量保持不变,则CAPM成立必须要求 所有风险资产的Beta系数相等且为1,即任意资产的Beta系数总是与市场组合的 Beta系数相等。显然,这样的结论与CAPM理论前提相悖。由此,可以得出结论: 资产的Beta系数在跨期条件下必然具有时变性特征。 证明:假定t时刻两种资产的价格分别是pA,t和pB,t,其发行在外的股份数量分 别是ⅴA和v且为常数,根据基金分离定理和市场组合资产比例构成原则,在时刻t 最优投资组合M1构成中,两种风险资产A和B的权重分别为: (vApA, t) WA.(vAPA, tVB PB.) 25) (26) 假设两种风险资产的Beta系数分别为常数BA和BB,则在CAPM成立且Beta 系数为常数的基础上,两种风险资产的期望收益为: E(RAt+1=R+BALE(RMt)R] (27) E(RB. t+1)=R+BB [E(RM. )-RE] (28) 则t+1时刻两种证券的期望价格分别为: PA, t[+E(RA t+1)]=pA. R+pA BA LE(RM t)Ri]tpA (29) PB t [1+E(RB. t+1)]=pB R+PB. t BB [E(RMt)-R(]+pB (30) 那么,时刻t+1两种证券在市场组合中的权重分别为: WAt+l vAPA. t+1+VBPB t+1 PA VA(RtBA LE(RM, )-Rtl1 PAtVA(R(+BA LE(RM t)-R:]+1)+pB, t VB(R+BB[E(RMt)R4]+1) VBPB. t+1 VAPA,I+I PB, VB(R+BB [E(RMt)Ri]+1 pAA(R十BA(E(RM,)一R]+1}+pBvR+P1E(RM)一R门+1(32) 为了使证明过程简单,不妨假设有BA>B,则wA…+1>wA.和wB+1<wB,,可知 市场组合M的位置将向证券A方向移动到M+1,如图1所示。由于新组合M+1并 不在CML线上,即不满足CAPM有效集的要求,那么所有投资者会基于理性的共同 预期进行套利,即卖出证券A同时买入证券B,改变投资组合中两种证券的权重,进 而保证最优化的投资组合,其结果则是证券A的价格下跌和证券B的价格上升,直到
资产 系统 性风 险跨期 时 变的 内生性 ： 由理论 证 明到实证 检验 数跨期不变的基础上 ，有效边界保 持 固定不 变和市 场组合资产 的构成 比例 ，将是 推 导 CAPM 跨期 悖论 ，进 而从 理 论 上 证 明资产 系统 性 风 险跨 期 时 变 存 在 性 的 重要 基 础 。 命题 2 (CAPM 跨期悖 论 )：在满足 CAPM 理论前提 的条件下 ，在跨期条件下如 果市场 中所有资产的 Beta系数及 其流通股份数量保持不变 ，则 CAPM 成立必须要求 所有风 险资产的 Beta系数相等 且 为 1，即任意 资产 的 Beta系数 总是与 市场 组合 的 Beta系数相等。显然 ，这样 的结论与 CAPM 理论 前提 相悖。 由此 ，可 以得 出结论 ： 资产 的 Beta系数在 跨期 条 件 下必 然 具 有 时变 性 特 征 。 证 明 ：假定 t时刻两种 资产 的价格分别是 PA．t和 P ，其发行在外 的股份数量分 别是 vA和 v 且为常数 ，根据基金分离定 理和市场组合资产 比例构成原则 ，在 时刻 t 最优投资组合 M 构成 中 ，两种风险资产 A 和 B的权重分别 为 ： WA,t一 __ (25) WB，t一 _————丁—— (2么6b) 假设两种风险资产 的 Beta系数 分别 为常数 A和 p，则在 CAPM 成立 且 Beta 系数为常数 的基础上 ，两种风险资产 的期望 收益 为 ： E(RA，十)一Rf+pA[E(RM，)一Rf] (27) E(RB．I+)一Rf+j3B[E(RM，)一Rf] (28) 则 t+1时刻两种证券 的期望价格分别为 ： pA'【[1+E(RA，… )]一pA．tRf-}-PA，t3A[E(RM，)一Rf]q-PA， pB，[1+E(RB，+1)]一pB，Rf-~-PB，』3B[E(RM，)一Rf]+pB， 那么 ，时刻 t+1两种证券在市场组合 中的权 重分别 为 ： (29) (3O) VApA，t+1 VApA，t+I十 VBpB，t+I 一pA，vA{Rf+研A[E(RM，)一Rf]+1)+pB，vB{Rf+ B[E(RM，)一Rf而]+1) VBpB，t+1 VApA，t+1十 VBpB，t+1 PB，VB{Rf+I3B[E(RM，)一Rf]+1} PA，tVA{Rf+l3A[E (RM，t) 一Rf]+1}+pB，VB{Rf+pB[E(RM，)一Rf]+1) (32) 为 了使证明过程简单 ，不妨假设有 >[}B，则 wA．t+>wA，t和 wB，+<wB'I，可知 市场组合 M 的位置将向证券 A方 向移动到 M + ，如 图 1所示 。由于新组合 M + 并 不在 CML线上 ，即不满足 CAPM 有效集的要求 ，那么所有投资者会基于理性 的共 同 预期进行套利 ，即卖 出证券 A 同时买人证券 B，改变投资组合 中两种证券 的权重 ，进 而保证最优化的投资组合 ，其结果则是证券 A 的价格下跌和证券 B的价格上升 ，直到 · 89 ·