11rdViR(2-V)-(V)dtdV211(V2 - Vi)dtRC2CTdl31(dt关于这个方程的分析，可以参看文献，也可以通过数值计算研究它的解的情况。这里仅结合实验结果介绍一下这个系统呈现的一些有趣的现象。周期1周期2单涡卷吸引子双涡卷吸引子Vi-V2相图Vi、 V2波形表1：几种典型的Vi-Vz相图与相应的V、V2波形图，波形图中，上面的曲线对应V波形，下面的曲线为V2波形按图（17）连接电路，观察Vi-V2相图，当选取合适的R值时，会出现周期1的情况（表1），周期1对应的Vi-V2相图是一个闭合的环形，对应的Vi、V2呈周期运动，且周期相同。慢慢减小R值，会出现周期2，此时V1、V2仍都呈周期变化，但V信号在两个不同的幅值间转换，周期是V2的两倍。继续减小R会相继出现周期4、周期8等，这个现象叫做倍周期分叉。接着缓慢减小R值，会出现单涡卷混沌吸引子，表1中可见，Vi-V2相图呈现的是一系列无首无尾的环状曲线，说明系统的演化不再具有周期性，V、V2波形也反映了这一点。这时系统进入混沌状态。继续缓慢减小R，就会观察到双涡卷混沌吸引子，环状曲线在两个涡旋吸引子之间不断跳跃、填充，对应的波形图中可见，的取值会在两个值附近跳跃，但无论V还是V都不是周期运动。上述过程中，如果电阻的调节足够精细，还可以发现更多有趣的细节，比如在单涡卷混沌吸引子出现之后，会出现周期3以及阵发性混沌现象，利用实际电路可以很容易观察到这一现象，但利用Multisim仿真时，周期3的出现就比较困难，这是因为Multisim的仿真实质上是数值计算，与其他数值计算方法一样，因为数字精度问题，它无法完全达到对物理过程的真实描述。前面描述的仅为Vi-V2相图，V-Is相图与V2-I3相图也会呈现类似的演化情况。更详细的描述请参考混沌的相关书籍以及混沌电路方面的书籍，例如：1.杨志民，马义德，张新国编著，现代电路理论与设计，清华大学出版社，20092.禹思敏混沌系统与混沌电路一原理、设计及其在通信中的应用，西安电子科技大学出版社，201114
14 ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎧ 𝑑𝑉ଵ 𝑑𝑡 = 1 𝑅𝐶ଵ (𝑉ଶ − 𝑉ଵ) − 1 𝐶ଵ 𝐼(𝑉ଵ) 𝑑𝑉ଶ 𝑑𝑡 = 1 𝐶ଶ 𝐼ଷ − 1 𝑅𝐶ଶ (𝑉ଶ − 𝑉ଵ) 𝑑𝐼ଷ 𝑑𝑡 = − 1 𝐿 𝑉ଶ 关于这个方程的分析，可以参看文献，也可以通过数值计算研究它的解的情况。这里仅结合实 验结果介绍一下这个系统呈现的一些有趣的现象。 周期 1 周期 2 单涡卷吸引子 双涡卷吸引子 V1-V2 相 图 V1、V2 波 形 表 1：几种典型的 V1-V2 相图与相应的 V1、V2 波形图，波形图中，上面的曲线对应 V1 波形，下面的曲线为 V2波形 按图（17）连接电路，观察 V1-V2 相图，当选取合适的 R 值时，会出现周期 1 的情况（表 1）， 周期 1 对应的 V1-V2 相图是一个闭合的环形，对应的 V1、V2 呈周期运动，且周期相同。慢慢减小 R 值，会出现周期 2，此时 V1、V2仍都呈周期变化，但 V1 信号在两个不同的幅值间转换，周期是 V2 的 两倍。继续减小 R 会相继出现周期 4、周期 8 等，这个现象叫做倍周期分叉。 接着缓慢减小 R 值，会出现单涡卷混沌吸引子，表 1 中可见，V1-V2 相图呈现的是一系列无首无 尾的环状曲线，说明系统的演化不再具有周期性，V1、V2 波形也反映了这一点。这时系统进入混沌 状态。 继续缓慢减小 R，就会观察到双涡卷混沌吸引子，环状曲线在两个涡旋吸引子之间不断跳跃、 填充，对应的波形图中可见，V1 的取值会在两个值附近跳跃，但无论 V1 还是 V2 都不是周期运动。 上述过程中，如果电阻的调节足够精细，还可以发现更多有趣的细节，比如在单涡卷混沌吸引 子出现之后，会出现周期 3 以及阵发性混沌现象，利用实际电路可以很容易观察到这一现象，但利 用 Multisim 仿真时，周期 3 的出现就比较困难，这是因为 Multisim 的仿真实质上是数值计算，与其 他数值计算方法一样，因为数字精度问题，它无法完全达到对物理过程的真实描述。 前面描述的仅为 V1-V2 相图，V1 – I3相图与 V2- I3 相图也会呈现类似的演化情况。 更详细的描述请参考混沌的相关书籍以及混沌电路方面的书籍，例如： 1. 杨志民，马义德，张新国编著，现代电路理论与设计，清华大学出版社，2009 2. 禹思敏,混沌系统与混沌电路—原理、设计及其在通信中的应用，西安电子科技大学出版社,2011
3.卢侃、孙建华、欧阳容百、黄来友编译，混沌动力学，上海翻译出版公司，1990【背景介绍】集成运算放大器（IntegratedOperationalAmplifier）：是由多级直接耦合放大电路组成的高增益模拟集成电路。自从1964年美国仙童公司研制出第一个单片集成运算放大器uA702以来，集成运算放大器得到了广泛的应用，目前它已成为线性集成电路中品种和数量最多的一类。国标统一命名法规定，集成运算放大器各个品种的型号有字母和阿拉伯数字两大部分组成。字母在首部，统一采用CF两个字母，C表示国标，F表示线性放大器，其后的数字表示集成运算放大器的类型。它的增益高（可达60~180dB），输入电阻大（几十千欧至百万兆欧），输出电阻低（几十欧），共模抑制比高（60~170dB），失调与飘移小，而且还具有输入电压为零时输出电压亦为零的特点，适用于正，负两种极性信号的输入和输出。运算放大器除具有+、-输入端和输出端外，还有+、-电源供电端、外接补偿电路端、调零端、相位补偿端、公共接地端及其他附加端等。它的闭环放大倍数取决于外接反馈电阻，这给使用带来很大方便。15
15 3. 卢侃、孙建华、欧阳容百、黄来友编译，混沌动力学，上海翻译出版公司，1990 【背景介绍】 集成运算放大器（Integrated Operational Amplifier）：是由多级直接耦合放大电路组成的高增益模 拟集成电路。自从 1964 年美国仙童公司研制出第一个单片集成运算放大器 μA702 以来，集成运算 放大器得到了广泛的应用，目前它已成为线性集成电路中品种和数量最多的一类。国标统一命名法 规定，集成运算放大器各个品种的型号有字母和阿拉伯数字两大部分组成。字母在首部，统一采用 CF 两个字母，C 表示国标，F 表示线性放大器，其后的数字表示集成运算放大器的类型。 它的增益高（可达 60~180dB），输入电阻大（几十千欧至百万兆欧），输出电阻低（几十欧），共 模抑制比高（60~170dB），失调与飘移小，而且还具有输入电压为零时输出电压亦为零的特点，适用 于正，负两种极性信号的输入和输出。运算放大器除具有+、-输入端和输出端外，还有+、-电源供电 端、外接补偿电路端、调零端、相位补偿端、公共接地端及其他附加端等。它的闭环放大倍数取决 于外接反馈电阻，这给使用带来很大方便
近物2：双频外差激光干涉仪【实验自的】1.了解双频外差激光干涉仪（dual-frequencyheterodyneinterferometer）的工作原理。2.熟悉各种光学镜片的功能及原理。3.熟悉双频外差干涉仪基本光路的设计和搭建，通过声光调制器（或称声光移频器）产生双频激光光束，并观察于涉仪的于涉信号。【实验内容】1.使用声光调制器对He-Ne激光光束进行频率调制，产生不同频率的激光输出（必做）。2.：搭建激光干涉仪实验光路（必做）。3.不考虑偏振情况下，观察和比较参考光和测量光的干涉信号，通过两者相位差测量决定光程差得出相位差与反射镜移动位移的函数关系（必做）。4.考虑光的偏振，设计基于偏振的双频外差激光干涉仪，测量相位差（选做）。【课前预习】1.光的干涉原理与激光干涉仪的基本组成。2.双频外差干涉仪基本原理与组成。【实验原理】激光具有高强度、高度方向性、空间同调性、窄带宽和高度单色性等优点，是精密测量中常用的设备。对于测量长度（位移或距离）的激光于涉仪，基本原理仍是以迈克尔逊于涉仪为基础。对于单频激光干涉仪，从激光器发出的光束经扩束准直后由分光镜分为两路，并分别从固定反射镜和可动反射镜反射回来，会合在分光镜上而产生干涉现象。当可动反射镜移动时，干涉条纹的光强变化由接受器中的光电转换元件（光电传感器）和电子线路（信号放大器）等转换为电压信号：然后经整形、放大后输入信号采集系统算出相位差，最后再由相位差算出可动反射镜的位移量（一个周期对应半波长）。由于激光频率甚高（1014Hz量级），无法直接测量光的相位，光程差检测的传统方法都是干涉强度法，即测量由相位差所引起的光干涉信号的强度变化，间接地测量光程差。单频激光干涉仪的相位测量方式就属于这种光强度测量，因此许多内部（电子噪声和长期漂移等）和外部因素（环境变化，如温度、大气压力、折射率等的变化）都会对测量结果产生影响。目前高精度的激光干涉仪大多为双频激光干涉仪，产生双频激光的方法主要是利用塞曼效应（ZeemanEffect）和声光调制器（Acousto-OpticalModulators，AOM）。塞曼效应受频差闭锁现象影响，产生的双频频差一般较小，通常最大频差不超过4MHz。声光调制方法得到的频差通常较大，一些产品双频激光频差达到20MHz以上。双频激光干涉仪是应用直接测量两个信号的相位差来决定位移的。这种位移（亦即光程差）信息载于两种频率光束干涉后产生的拍频信号上：因此，对由光强变化引起的直流电平变化不敏感，所以抗干扰能力强。它常用于检定测长机、三坐标测量机、光刻16
16 近物 2：双频外差激光干涉仪 【实验目的】 1. 了解双频外差激光干涉仪（dual-frequency heterodyne interferometer）的工作原理。 2. 熟悉各种光学镜片的功能及原理。 3. 熟悉双频外差干涉仪基本光路的设计和搭建，通过声光调制器（或称声光移频器）产生双频激光 光束，并观察干涉仪的干涉信号。 【实验内容】 1. 使用声光调制器对 He-Ne 激光光束进行频率调制，产生不同频率的激光输出（必做）。 2. 搭建激光干涉仪实验光路（必做）。 3. 不考虑偏振情况下，观察和比较参考光和测量光的干涉信号，通过两者相位差测量决定光程差， 得出相位差与反射镜移动位移的函数关系（必做）。 4. 考虑光的偏振，设计基于偏振的双频外差激光干涉仪，测量相位差（选做）。 【课前预习】 1. 光的干涉原理与激光干涉仪的基本组成。 2. 双频外差干涉仪基本原理与组成。 【实验原理】 激光具有高强度、高度方向性、空间同调性、窄带宽和高度单色性等优点，是精密测量中常用 的设备。对于测量长度（位移或距离）的激光干涉仪，基本原理仍是以迈克尔逊干涉仪为基础。对 于单频激光干涉仪，从激光器发出的光束经扩束准直后由分光镜分为两路，并分别从固定反射镜和 可动反射镜反射回来，会合在分光镜上而产生干涉现象。当可动反射镜移动时，干涉条纹的光强变 化由接受器中的光电转换元件（光电传感器）和电子线路（信号放大器）等转换为电压信号；然后 经整形、放大后输入信号采集系统算出相位差，最后再由相位差算出可动反射镜的位移量（一个周 期对应半波长）。由于激光频率甚高(1014Hz 量级)，无法直接测量光的相位，光程差检测的传统方法 都是干涉强度法，即测量由相位差所引起的光干涉信号的强度变化，间接地测量光程差。单频激光 干涉仪的相位测量方式就属于这种光强度测量，因此许多内部（电子噪声和长期漂移等）和外部因 素（环境变化，如温度、大气压力、折射率等的变化）都会对测量结果产生影响。 目前高精度的激光干涉仪大多为双频激光干涉仪，产生双频激光的方法主要是利用塞曼效应 （Zeeman Effect）和声光调制器（Acousto-Optical Modulators，AOM）。塞曼效应受频差闭锁现象影 响，产生的双频频差一般较小，通常最大频差不超过 4MHz。声光调制方法得到的频差通常较大，一 些产品双频激光频差达到 20MHz 以上。双频激光干涉仪是应用直接测量两个信号的相位差来决定位 移的。这种位移（亦即光程差）信息载于两种频率光束干涉后产生的拍频信号上；因此，对由光强 变化引起的直流电平变化不敏感，所以抗干扰能力强。它常用于检定测长机、三坐标测量机、光刻
机和加工中心等的坐标精度，也可直接用作测长机、高精度三坐标测量机等的测量系统。利用相应附件，还可进行高精度直线度测量、平面度测量和小角度测量。图1是一种典型的双频激光外差干涉仪的光路示意图。氢氛激光器输出的激光光束通过分光镜BS1分成两束，分别经过声光移频器产生频率为fi和f的光束（原理参考背景知识）。两束光再分别通过分光镜BS2和BS4各自分成两束，频率f和f的光束经过分光镜反射后产生干涉，形成参考光束，并通过光电探测器PD1接收干涉信号。另外，透过BS2和BS4的f和f的光束分别通过反射镜M1和M2，当位于测量臂上的反射镜移动时（例如M2前后移动时），测量臂（由BS4到M2）光程变化导致测量光束的相位发生变化，因而干涉后的拍频测量信号的相位也发生变化，此测量信号由光电探测器PD2接收。通过示波器（Oscilloscope）比较参考（光束）信号和测量（光束）信号的相位差，即可得出干涉仪两臂光程差的变化量，继而得出可动反射镜的位移量。PD1BS3?个BSI BS2He-Ne+7MIZOscillscope一LZBS4AOMM2个ZBS5PD2N1图1：非偏振双频激光干涉系统BS：分光镜，M：反射镜，AOM：声光调制器，PD：光电探测器以下我们用单频光的光场来讨论双频外差干涉仪的测量原理。对于参考光束，频率f和的电场可表示为(1)Ei=Eoisin(2元fit+(1)(2)E2=E02Sin(2元f2t+02)式中l，2为其对应的相位。从而得到参考光束的光强(3)I,=l1(2fi)+12(2f2)+13(fi+f2)+14(fi-f2)由于式（3）中前三项的频率很高，超过一般光电探测器的频率响应范围，因此对前三项只能输出（时间）平均值，为直流量。最后一项为干涉项，是两束激光干涉形成的拍频信号，其被探测器接收的光强信号为：(4)I,oclocos[2元(fi-f2)t+(001-p02)]17
17 机和加工中心等的坐标精度，也可直接用作测长机、高精度三坐标测量机等的测量系统。利用相应 附件，还可进行高精度直线度测量、平面度测量和小角度测量。 图 1 是一种典型的双频激光外差干涉仪的光路示意图。氦氖激光器输出的激光光束通过分光镜 BS1 分成两束，分别经过声光移频器产生频率为 f1 和 f2 的光束（原理参考背景知识）。两束光再分 别通过分光镜 BS2 和 BS4 各自分成两束，频率 f1和 f2 的光束经过分光镜反射后产生干涉，形成参考 光束，并通过光电探测器 PD1 接收干涉信号。另外，透过 BS2 和 BS4 的 f1 和 f2 的光束分别通过反 射镜 M1 和 M2，当位于测量臂上的反射镜移动时（例如 M2 前后移动时），测量臂（由 BS4 到 M2） 光程变化导致测量光束的相位发生变化，因而干涉后的拍频测量信号的相位也发生变化，此测量信 号由光电探测器 PD2 接收。通过示波器（Oscilloscope）比较参考（光束）信号和测量（光束）信号 的相位差，即可得出干涉仪两臂光程差的变化量，继而得出可动反射镜的位移量。 图1：非偏振双频激光干涉系统 BS：分光镜，M：反射镜，AOM：声光调制器，PD：光电探测器 以下我们用单频光的光场来讨论双频外差干涉仪的测量原理。 对于参考光束，频率f1和f2的电场可表示为 E1=E01sin(2f1t+r1) (1) E2=E02sin(2f2t+r2) (2) 式中r1，r2为其对应的相位。从而得到参考光束的光强 Ir=I1(2f1)+I2(2f2)+I3(f1+f2)+I4(f1-f2) (3) 由于式（3）中前三项的频率很高，超过一般光电探测器的频率响应范围，因此对前三项只能输 出（时间）平均值，为直流量。最后一项为干涉项，是两束激光干涉形成的拍频信号，其被探测器接 收的光强信号为： IrI0cos[2(f1-f2)t+(01-02)] (4)
式中901-002是初始相位差。对于测量信号，由于光程的不同以及反射镜M2的移动产生的光程变化，因此干涉信号便产生了额外的光程差，其光强(5)Imoclocos[2元(fi-f2)t+(01-902)+△d)]式中△=4元n(Li/元1-L2/22)，n为环境的折射率（大气折射率n=1）。当频率f和相差不大时，可假设入~入2~：比较参考信号和测量信号的相位，得出相位差：=4元/2(6)实验中可使用示波器（或是高精度相位计）比较参考信号和测量信号的相位差得出光程差，继而可以得出反射镜M2的移动量。基于偏振的双频激光干涉的测量光路（选做实验）如图2所示。激光器通过BS1分成两束光，分别经过声光移频器产生频率为f和f的光束。频率f的光束经过偏振分光镜PBS2后，S偏振的光（垂直于光波入射和反射的平面）被反射（fis），而透过PBS2的光则是P偏振的（fip）。频率f的光束经过反射镜M，再经过偏振分光镜PBS1后，透过的P偏振光（f2p）经过分光镜BS2反射后，与频率为fi透过BS2的P偏振光（fip）一起形成拍频信号，被光电探测器PD1接收，为参考光束。频率为f经过PBS2反射的S偏振光经过半波片，变成P偏振光（fip）；频率f经过PBS1反射的S偏振光（fs），经过四分之一波片，变成圆偏振光，然后经过可前后移动的反射镜M1反射，当再通过四分之一波片时，变成P偏振光（f2P），透过偏振分光镜PBS1和分光镜BS3后，与被BS3反射的频率f的P偏振光（fip）一起形成拍频信号，被光电探测器PD2接收，为测量光束。当反射镜M1前后移动时，测量臂（由PBS1到M1）光程变化导致测量光束的相位发生变化，因而干涉后的拍频测量信号的相位也发生变化。通过比较参考（光束）信号和测量（光束）信号的相位差，即可得出干涉仪两臂光程差的变化量，继而得出可动反射镜M1的位移量。f2MVYBS3PBS1_2/41PD2MLNN2/2He-NePD1VLaserBS1PBS2BS2图2：偏振双频激光干涉系统光路BS：分光镜，M：反射镜，AOM：声光调制器，PBS：偏振分光镜2/2：半波片，2/4：四分之一波片，PD：光电探测器18
18 式中 01-02是初始相位差。 对于测量信号，由于光程的不同以及反射镜M2的移动产生的光程变化，因此干涉信号便产生 了额外的光程差，其光强 ImI0cos[2(f1-f2)t+(01-02)+ ϕ] (5) 式中 = 4n(L1/1 - L2/2)，n为环境的折射率（大气折射率n1）。 当频率f1和f2相差不大时，可假设12；比较参考信号和测量信号的相位，得出相位差： ϕ = 4L/ (6) 实验中可使用示波器（或是高精度相位计）比较参考信号和测量信号的相位差得出光程差，继 而可以得出反射镜M2的移动量。 基于偏振的双频激光干涉的测量光路（选做实验）如图2所示。激光器通过BS1分成两束光，分 别经过声光移频器产生频率为f1和f2的光束。频率f1的光束经过偏振分光镜PBS2后，S偏振的光（垂直 于光波入射和反射的平面）被反射（f1S），而透过PBS2的光则是P偏振的（f1P）。频率f2的光束经过反 射镜M，再经过偏振分光镜PBS1后，透过的P偏振光（f2P）经过分光镜BS2反射后，与频率为f1透过 BS2的P偏振光（f1P）一起形成拍频信号，被光电探测器PD1接收，为参考光束。频率为f1经过PBS2反 射的S偏振光经过半波片，变成P偏振光（f1P）；频率f2经过PBS1反射的S偏振光（f2S），经过四分之 一波片，变成圆偏振光，然后经过可前后移动的反射镜M1反射，当再通过四分之一波片时，变成P偏 振光（f2P），透过偏振分光镜PBS1和分光镜BS3后，与被BS3反射的频率f1的P偏振光（f1P）一起形成 拍频信号，被光电探测器PD2接收，为测量光束。当反射镜M1前后移动时，测量臂（由PBS1到M1） 光程变化导致测量光束的相位发生变化，因而干涉后的拍频测量信号的相位也发生变化。通过比较 参考（光束）信号和测量（光束）信号的相位差，即可得出干涉仪两臂光程差的变化量，继而得出可 动反射镜M1的位移量。 图2：偏振双频激光干涉系统光路 BS：分光镜，M：反射镜，AOM：声光调制器，PBS：偏振分光镜， /2：半波片，/4：四分之一波片，PD：光电探测器