线性代数第四节线性方程组解的结构W={XRn|AX=0为R"的子空间AX=0的基础解系：W的一组基10若口1□2，，，．线性无关·2°AX=0的任一解向量均可由，2，…，，线性表出则称1，2……，，为AX=0的一个基础解系定理1设R(A)=r<n，则AX=0有基础解系且所含向量个数为n-r即dimW=n-r，这里n为方程组未知数个数高事教出新时代大学数学东列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 W ={X Rn | AX = 0} 为Rn的子空间 AX = 0的基础解系：W 的一组基. 1 o 若 1 , 2 , ., s 线性无关; 2 o AX = 0的任一解向量均可由 1 , 2 , ., s 线性表 出 则称 1 , 2 , ., r 为AX = 0 的一个基础解系. 定理1 设R(A) = r < n, 则AX = 0有基础解系且所含向量个数为n - r, 即dimW = n - r, 这里n为方程组未知数个数
线性代数第四节线性方程组解的结构证R(A)=r,不妨设A的前r个列向量线性无关，则aelLobuLb.n-1o小丰牛CMMMMA% 例初等变势?B=9bcOTbr.n-l小Cie0ix,=-bux+i-L-bi.n-rxnLLL得AX=0的同解方程组Ix, =-b,ix+-L - br,n-rx,a0oaexr+oaeloa0o一一OSo.CitCOX+2+=000LCC分别取则依次得CMM- CMCMC小rS1C20020Xnoe高等教出社新时代大学数学东列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 证 R(A) = r, 不妨设A的前r 个列向量线性无关, 则 得AX = 0的同解方程组 分别取 则依次得
线性代数第四节线性方程组解的结构0boae-abuaebi20aer,o1.n-小OnCC.M-9MMM一C8小口.cebb,1br2-A-00r.n-r便得AX=0的n-r个解：bb12bi:0:Oaeaeaesh.CCCCCCCCe小小十小CCCCCCMMMob?6rn-CC中0100三一I三X,xXICn-十中一OCn10一OnCn小MMM大CCeCCe口一0010意事教出社新时代大学数学东列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 便得AX = 0的n – r 个解：
线性代数第四节线性方程组解的结构可证明：，2…，-即为基础解系：（1）证明，2，…，-线性无关：a00aloao：C.SOCO·OCC线性无关CMCMCM一1100200为什么？！，，…，．线性无关(2)可以证明AX=0的任一解都可由1，2，…n-线性表出。（略）首意等教有出麻社新时代大学教学集列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 可证明: 1 , 2 , ., n-r 即为基础解系： (1) 证明 1 , 2 , ., n-r 线性无关： 1 , 2 , ., n-r 线性无关为什么？ (2) 可以证明AX = 0的任一解都可由 1 , 2 , ., n-r 线性表出.（略）
线性代数第四节线性方程组解的结构设，2,….-为AX=0的一个基解系，则口AX=0的解口，=k,,+k,,+...+kn-nr,kj,k, ...,kn-OR.AX=0的通解AX=0的基础解系一般不惟一，但其任一基础解系中所含向量个数必为n(未知数个数)-R(A)若AX=0有非零解，则必有无穷多个解高事教出新时代大学教学集列教材
新时代大学数学系列教材 线性代数 第四节线性方程组解的结构 设 1 , 2 , ., n - r 为AX = 0 的一个基解系， 则 AX = 0 的解 ， = k1 1+ k2 2+ .+ kn-r n-r , k1 , k2 , ., kn-r R. AX = 0 的 通解 AX = 0 的基础解系一般不惟一，但其任一基础解系中所含 向量个数必为 n (未知数个数) - R(A). 若AX = 0有非零解，则必有无穷多个解