lutions in Vicinit u1(x)=(2-30)∑c(2-2x0) k=-0 2(2)=g1(z)n(z-20)+(2-20)2∑dk(2-20) k=0 反复利用递推关系即可求得系数普遍表达式 遗留的待定系数只能有两个 这种形式的解称为正则解 当g=0时,2()的表达式中不含对数项,两 个解的形式相同 当9≠0时,m()的形式和m()不同(含有对《 数项),因而需分别求解
Solutions in Vicinity of Regular Singularity Outlines & Conclusions) Example: Bessel Equation Solutions in Vicinity of Singularity Regular Singularity w1(z) = (z−z0) ρ1 P ∞ k=−0 ck(z−z0) k w2(z) = gw1(z) ln(z−z0)+(z−z0) ρ2 P ∞ k=0 dk(z−z0) k E|^4í'X=¦XêÊHLª ¢3½XêUkü ù«/ª)¡K) g = 0§w2(z)Lª¥Ø¹éê§ü )/ªÓ g 6= 0§w2(z)/ªÚw1(z)ØÓ(¹ké ê)§Ï I©O¦) C. S. Wu 1ù ~©§?ê){()
Solutions in vicinit 讲授要点 ③方程正则奇点处的解 程奇点处解的一般形式 ●正则奇点 ③求解的思路与一般结论 求解思路 般步骤与结论 Bessel方程的解 Bessel方程 Bessel方程的第一解 Bessel方程的第二解
Solutions in Vicinity of Regular Singularity Outlines & Conclusions) Example: Bessel Equation Solutions in Vicinity of Singularity Regular Singularity ùÇ: 1 §KÛ:?) §Û:?)/ª KÛ: 2 ¦)g´(Ø ¦)g´ Ú½(Ø 3 Bessel§) Bessel§ Bessel§1) Bessel§1) C. S. Wu 1ù ~©§?ê){()
Solutions in vicinit 方程奇点邻域内两个线性无关解都是正则解的充要条件 定理 (不证 dw 方程12+p(2)+q(2)=0在它的奇点20的邻 域0<|z-0<R有两个正则解 u1(2)=(2-20)∑ck(z-20) 2(2)=g(z)ln(z-x0)+(2-x0)∑d(z-30 的充分必要条件是点为正则奇点 1和P2称为正则解的指标
Solutions in Vicinity of Regular Singularity Outlines & Conclusions) Example: Bessel Equation Solutions in Vicinity of Singularity Regular Singularity §Û:Sü5Ã')Ñ´K)¿^ ½n (Øy) § d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 03§Û:z0 0 < |z − z0| < RküK) w1(z) = (z−z0) ρ1 P ∞ k=0 ck(z−z0) k w2(z) = gw1(z) ln(z−z0)+(z−z0) ρ2 P ∞ k=0 dk(z−z0) k ¿©7^´z0:KÛ: ρ1Úρ2¡K)I C. S. Wu 1ù ~©§?ê){()
Solutions in vicinit 方程奇点邻域内两个线性无关解都是正则解的充要条件 定理 (不证 dw 方程12+p(2)+q(2)=0在它的奇点20的邻 域0<|z-0<R有两个正则解 u1(2)=(2-20)∑ck(z-20) 2(2)=g(z)ln(z-x0)+(2-x0)∑d(z-30 的充分必要条件是点为正则奇点 p1和P2称为正则解的指标
Solutions in Vicinity of Regular Singularity Outlines & Conclusions) Example: Bessel Equation Solutions in Vicinity of Singularity Regular Singularity §Û:Sü5Ã')Ñ´K)¿^ ½n (Øy) § d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 03§Û:z0 0 < |z − z0| < RküK) w1(z) = (z−z0) ρ1 P ∞ k=0 ck(z−z0) k w2(z) = gw1(z) ln(z−z0)+(z−z0) ρ2 P ∞ k=0 dk(z−z0) k ¿©7^´z0:KÛ: ρ1Úρ2¡K)I C. S. Wu 1ù ~©§?ê){()
Solutions in vicinit 定义 d 2u d 若=20是方程d2+(2)d2+(2)=0的奇 点,且是 p(2)的不超过一阶 0)()在20点 的极点 即解析 q()的不超过二阶 (x-2x0)2q(2)在20点 的极点 解析 则称z=20为方程的正则奇点
Solutions in Vicinity of Regular Singularity Outlines & Conclusions) Example: Bessel Equation Solutions in Vicinity of Singularity Regular Singularity ½Â ez = z0´§ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0Û :§ ´ p(z)ØL 4: q(z)ØL 4: = (z − z0)p(z)3z0: )Û (z − z0) 2 q(z)3z0: )Û K¡z = z0§KÛ: C. S. Wu 1ù ~©§?ê){()