秦 当入∈(d+1,d)时，亚1(A)为正项的和，亚2()为负项的和，因此它们都可以较 精确地计算.但如果把它们加在一起时可能会引起对消，从而失去相对精度.因 此我们也将h()写成 h()=1+a(h1(A)+h2(), 其中 h ha() C2 满足 h1()=1(,M()=1() h2()=亚2()， 2()=() 即h1(A)和h2(A)分别在点入与亚1()和亚2()相切.这在数值插值中是常见 的条件 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 32/77
当 λ ∈ (di+1, di) 时, Ψ1(λ) 为正项的和, Ψ2(λ) 为负项的和, 因此它们都可以较 精确地计算. 但如果把它们加在一起时可能会引起对消, 从而失去相对精度. 因 此我们也将 h(λ) 写成 h(λ) = 1 + α h1(λ) + h2(λ) , 其中 h1(λ) = c1 di − λ + ˆc1, h2(λ) = c2 di+1 − λ + ˆc2 满足 h1(λ˜) = Ψ1(λ˜), h′ 1 (λ˜) = Ψ′ 1 (λ˜), h2(λ˜) = Ψ2(λ˜), h′ 2 (λ˜) = Ψ′ 2 (λ˜). 即 h1(λ) 和 h2(λ) 分别在点 λ˜ 与 Ψ1(λ) 和 Ψ2(λ) 相切. 这在数值插值中是常见 的条件. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 32/77
秦 容易计算可得 c1=1()(d-)2,c1=1()-1((d-), 2=2()(d+1-2,色2=2(-吗((d+1-). 所以，最后取 a)=1+a6+a)+a(22+9) 这就是迭代函数. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 33/77
容易计算可得 c1 = Ψ′ 1 (λ˜)(di − λ˜) 2 , cˆ1 = Ψ1(λ˜) − Ψ′ 1 (λ˜)(di − λ˜), c2 = Ψ′ 2 (λ˜)(di+1 − λ˜) 2 , cˆ2 = Ψ2(λ˜) − Ψ′ 2 (λ˜)(di+1 − λ˜). 所以, 最后取 h(λ) = 1 + α(ˆc1 + ˆc2) + α c1 di − λ + c2 di+1 − λ . 这就是迭代函数. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 33/77
秦 (3)计算特征向量的稳定算法 设入i是D+auT的特征值，则根据引理4.2，可利用公式(D-入：I)-1u来计算其 对应的特征向量.但遗憾的是，当相邻的两个特征值非常接近时，这个公式可能 不稳定.即当入与入+1非常接近时，它们都靠近d+1(这里假定入∈(d+1,d), 在计算d+1-入和d+1-入+1时会存在对消，这就可能损失有效数字，产生较 大的相对误差，从而导致(D一入：I)-1u与(D-入1I)-1u的计算是不准确的， 正交性也会失去.下面的定理可以解决这个问题。 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 34/77
(3) 计算特征向量的稳定算法 设 λi 是 D+αuu ⊺ 的特征值, 则根据引理 4.2, 可利用公式 (D−λiI) −1u 来计算其 对应的特征向量. 但遗憾的是, 当相邻的两个特征值非常接近时, 这个公式可能 不稳定. 即当 λi 与 λi+1 非常接近时, 它们都靠近 di+1 (这里假定 λi ∈ (di+1, di)), 在计算 di+1 − λi 和 di+1 − λi+1 时会存在对消, 这就可能损失有效数字, 产生较 大的相对误差, 从而导致 (D − λiI) −1u 与 (D − λi+1I) −1u 的计算是不准确的, 正交性也会失去. 下面的定理可以解决这个问题. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 34/77
类 定理(Lowner)设对角阵D=diag(d1,d2,,dn)满足d>d2>·>dn. 若矩阵D=D+iT的特征值入1，入2，.，入n满足交错性质 1>d1>λ2>d2>…>λn>dn, 则向量ù的分量满足 ΠIk=1(k-d) ）2 IK=1,k+(-d http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 35/77
定理 (Löwner) 设对角阵 D = diag(d1, d2, . . . , dn) 满足 d1 > d2 > · · · > dn. 若矩阵 Dˆ = D + ˆuuˆ ⊺ 的特征值 λ1, λ2, . . . , λn 满足交错性质 λ1 > d1 > λ2 > d2 > · · · > λn > dn, 则向量 uˆ 的分量满足 |uˆi | = Qn k=1 (λk − di) Qn k=1, k̸=i (dk − di) !1/2 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 35/77
秦 5 对分法和反迭代 对分法的基本思想是利用惯性定理来计算所需的部分特征值. 定义设A为对称矩阵，则其惯性定义为 Inertia(A)=(v,C, 其中山，(，π分别表示A的负特征值，零特征值和正特征值的个数 定理(Sylvester惯性定理)设A∈Rnxn是对称矩阵，X∈Rnxn非奇异，则 XTAX与A有相同的惯性. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 36/77
5 对分法和反迭代 对分法的基本思想是利用惯性定理来计算所需的部分特征值. 定义 设 A 为对称矩阵, 则其惯性定义为 Inertia(A) = (ν, ζ, π) 其中 ν, ζ, π 分别表示 A 的负特征值, 零特征值和正特征值的个数. 定理 (Sylvester 惯性定理) 设 A ∈ R n×n 是对称矩阵, X ∈ R n×n 非奇异, 则 X ⊺AX 与 A 有相同的惯性. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 36/77