中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 (3)当火箭速度？很小时，利用公式 ln(1+x)≈x- ,当x<1 2 得 1+)-和n--之-j 1⑧ 把⑧代入用相对论力学求得的结果⑤式，并利用⑧式，得 n)- 丽 -wH}-o】 可见，在火箭速度很小的情况下，相对论力学的结果与牛顿力学的结果之差直至 级为零，实际上为 的量级。 评分标准：第(1)问5分，①②③⑤⑦[或⑧]各1分： 第(2)问8分，⑨式2分，⑩式1分，①式2分，飞④⑤[或⑤或①]式各1分： 第(3)问2分，⑧9式各1分。 四、(15分)光在物体表面反射或者被吸收时，光子将其动堂传给物休，使光具有对物体的 辐射压力（光压）。利而光压，可实现对某些微小粒子的精确操控（光镊）。设在≥L的区 域有一匀强激光场，沿z轴负方问入射，其强度（单位时间内通过单位横截面积的光能）为 I;在y∈(-L,L)之间没有光场，其横截面如图所示。一密度为p的三棱柱形小物体（其横 截面是底边长为2L、底角为O的等腰三角形)被置于光滑的水平面y上，其朝上的A和B两 面均涂有特殊反射层，能完全反射入射光。小物体初始时静止，位置如图。 (1)假定光子的反射角等于入射角，H反射前后光子的频率不变。试求： (a)小物体在受到激光场照射后的动力学方程； (b)小物体从初始位置向y轴负方向移动3L2的距离所需的时间。 (2)实际上，由于小物体的运动，反射光了频举会有微小的变化：在小物体从初始位置向 y轴负方向移动到距离为3L/2的过程中，定性比较反射光子与入射光子频率的大小及其随时 间的变化。 B 参考解答： (1) (a)先计算母个光子对于物体的作用。假定光的频率是v,树个光子的能量和动量大小分 别为 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 Eo=hv ① hi ② 现分析光子反射后相对于反射前共动量的变 化量。如z剖面图所示，光子入射到B面的入射 角和反射角都等于等腰三角形的底角日，出射光子 的动量方向与z轴成20角：由题设，山射光子动 Po 量的大小在反射前后基本不变。光子反射给物体的 冲量在z轴方向的分量与xy平面的支持力抵消， 其在x轴的分量为零，只有在y轴上的分量不为零： 且y平面光滑，所以物体只会沿y轴做水平运动。 Q0,y,0) 故可以用等腰三角形顶点在y轴上的垂足Q(0,y,0) 变化米表征整个物体的运动。单个光子在B面上反射后给物体的冲量沿y轴的分量大小 为 1osin20 ③ 方向指向坐标原点O。 再计算当Q(0,y,0)点处在y轴的止半轴上不同位置即y≥0时，单位时间内入射到斜面 B上的光了数。这时，激光束入射到物体的B面，其横截面积为 s=yd ④ 其中，为该二棱柱形小物体的棱长。此时物体受到的单位时间内的激光的入射功率为 w=Is lyd ⑤ 此时单位时间内入射物体B面的光子数为 n="-d ⑥ Eo hv 同理，当Q(0,y,0)点处在y轴的负半轴上即y≤0时，单位时间内入射到物体的A面的光子 数为 n=”=-d ⑦ Eo hv 由于光束反射给物体带来的力的z轴分量以及物体本身的亚力始终与y平面的支持力 抵消，同时山③式中的单个光子反射后给物体带来的冲量的y轴分量大小并考虑到其方向指 向坐标原点，所以物体受到的合外力F与物体上Q(0,y,0)点的y轴坐标y的关系为 F=nloy = Id sin20 1V ⑧ 这是一个线性回复力。 出⑧式可知，物体从初始位置丌始、在受到中空激光场照射后，以坐标原点为中心沿着 y轴做简谐运动，对应的谐振动角频率为 Id sin20/c 2Icos20 0= ⑨ VoL'dtan0 Cpl 考虑到Q(0,y,0)点的初始位置为(0，L,0),物体上Q(0,y,0)点的运动方程为 Lcos 21 cos0 cpl2 ⑩ ()小物体从初始位置向y抽负方向移动3汇2的距离的时候)=-，考虑到@式，则 21 cos20 -L=Lcos ① cpL☑ 小物体从从初始位置向y轴负方向移动3L/2的距离的时间为 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理