哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第六章 特征值、特征向量及相似矩阵

例5n阶矩阵A为对合阵(即A2=En),且A的特征值都 为1试证明A=En A=E 证由A2=E可得 (A+E)(A-E)=O(1) 由于A的特征值都为1,故x=-1不是A的特征值, 即1E-4=(-1)E+A≠0 因此,E+A可逆将(1)式两端左乘(E+A)即得 哈工大数学系代数与几何教研室

6.1.3特征值与特征向量的性质 定理61设1,l,…,为n阶矩阵A=an)mn的n个 特征值,则 (1)∑=∑ (2)I1x,=|4 定理62如果1,A2,…λ为n阶矩阵A的s个不同的特 征值,a12C2…,a,分别为它们对应的特征向量,则 a1,ax2,…,a线性无关 哈工大数学系代数与几何教研室

定理 6.2 如果  s , , , 1 2  为 n 阶矩阵 A 的 s 个不同的特 征 值，    s , , , 1 2  分 别为它 们对 应的特 征向量 ，则    s , , , 1 2  线性无关

证对s用数学归纳法=1时,显然由α1是特征向 量,知a1≠0,因而结论成立, 设s=k时结论成立,即a1,a2…,ak线性无关, 则s=k+1时,设a1,a2,…,Ok为矩阵A的k+1个 不同的特征值1,2,…,+1 对应的特征向量。下证a12ax2,…,Ok1线性无关 设有数1t2 2:5k+1 使得 t11+122+…+tk+k+1=0 (1) 哈工大数学系代数与几何教研室

证 对 s 用 数 学 归 纳 法 s = 1 时 ， 显 然 由  1 是 特 征 向 量 ， 知 0  1  ， 因 而 结 论 成 立 ， 设 s  k 时 结 论 成 立 ， 即    k , , , 1 2  线 性 无 关 ， 设有数 1 2 1 , , , k t t  t 使得 t11  t2 2  t k1 k1  0 （1）

用A左乘(1)得 AM+t2Aa2+.+tk+rAak+I=0 由Aa1=1c1有 11a1+1212a2+…+1k+1k+k+1=0 (2) 再用数1乘(1)得 12a1+t2a2+…+1k12+ak=0(3) 哈工大数学系代数与几何教研室

再用数k 1 乘（1）得 0 t1k11  t2k1 2  t k1k1 k1  （3）

用(2)减(3)式得 1(2-)1+1(2-x21) +…+1(k-k+1)Ck=0 因为a12a2,…ak线性无关,故 而4≠k因此=%) k+1 k 0 tk=0,将此代入(1 得得 k+1k+1 0由a1≠0 k+1 0,a12a2…,ak+线性无关 由数学归纳法知a1,a2…,C、线性无关。 哈工大数学系代数与几何教研室

用（2）减（3）式得 ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 2           k k k k k k t t t           因为   k , , , 1 2  线性无关，故 t1 (1  k1 )  t2 (2  k1 )   t k (k  k1 )  0 而i  k1 因此 0 t1  t2    t k  ，将此代入（1） 得 t k1 k1  0 由1  0 得 0 t k1  ， 1 2 1 , , ,     k 线性无关。 由数学归纳法知   s , , , 1 2  线性无关