湘潭大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 傅立叶变换（1/2）

信号的正交分解 3、正交函数集 n个函数{8(),g2(0)…g1()}构成一函数擦 如在区间(t1,12)内满足正交特性,即 g i(t)dt = K (=0(≠) 则此函数篡称为正交函数集 另一种定义(完备性):在正灾集{g(1)}之外再汲有 一有限能量的x(t)满足以下条件 x(t)g(t)dt =0

一 信号的正交分解 3、正交函数集 n个函数 构成一函数集， 如在区间 ( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即 ( ) ( ) 0 ( ) 2 1 g t g t dt i j t t i j      2 1 ( ) 2 t t i K i g t dt 则此函数集称为正交函数集  g1(t),g2 (t),gn (t)  另一种定义（完备性）：在正交集 之外再没有 一有限能量的x(t)满足以下条件 gi(t)   2 1 ( ) ( ) 0 t t x t g i t dt

32周期信号的傅立叶级数分析 任意函教由n个正交的函教的线性组合所近似 g1(1)+c2g2(t)+…+cngn(t) gr(t) 原函数 f(tg (t) dt f(t)g,(t)dt 2 gi(t)dt K 4、常用正交完备集 「角品数集{ cos no;t}ng sin no t n→ 复指教函数集 e Jn oit n→c 二周期信号付里叶级数 周期信号可畏开成正交函数线性组合的无穷级数: 三角函数式的傅立里叶级数{ conopt, sinnott 复指数函数式的傅里叶级数{en

§3.2 周期信号的傅立叶级数分析 .周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn1t, sinn1t} . 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n  1 t } 二 周期信号付里叶级数 任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 c g t f t c g t c g t c g t n r r r n n             2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 t t t i i t t i t i i f t g t dt g t dt K f t g t dt c 原函数 三角函数集   n   n t 1 cos    n   n t 1 sin  复指数函数集   n   jn t e  1 4、常用正交完备集

角函数的傅里叶级数 1、三角函教是正交函数 &cosmo,t,sin na +T coS nQ,tsin m@,t dt=0 (3.2) 1o+71 (m=n) sinnot sinmatdt 10(m≠n) (33) 0+1 cosnatcosmatat 33) 0(m≠n)

1、三角函数是正交函数 cos .sin . 0 (3.2) 1 1 0 1 0    n t m t dt t T t   1 0 1 0 2 1 1 ( ) sin sin (3.3) 0 ( ) T t T t m n n t m tdt m n          1 0 1 0 2 1 1 ( ) cos cos (3.3) 0 ( ) T t T t m n n t m tdt m n          一 、三角函数的傅里叶级数 1 1 {cos n t,sin n t}

2、周期函数f()分解为三角函数的傅里叶级数: f (t)=a0+>(an cos na,t+b, sin n@, t) 直流 基波分量 谐波分量 分量 n=1 2丌 >1 周期信号分解的条件: A在一周期内,如果有间断点存在,则间断点是有限个 B在一周期内,极大值,极小值的教目是有限个 C在一周期内,信号是绝对可积的即D|f1(1)d<o

2、周期函数f(t)分解为三角函数的傅里叶级数: 1 1 2 T    ( ) ( cos sin ) 1 1 1 1 0 f t a a n t b n t n n n        直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1 周期信号分解的条件: A在一周期内,如果有间断点存在,则间断 点是有限个 B在一周期内,极大值,极小值的数目是有限个 C在一周期内,信号是绝对可积的.即    2 1 | ( ) | 1 t t f t dt

2 f(t)g (t)dt 由 有 2 8i(t)dt 直流 条数 0 f(t).dt T 余孩分量 rto+li f(tcosn@, tdt 条数 正孩分量 +T1 bn f(t).sinn@, tdt 条数

   0 1 0 ( ). 1 1 0 t T t f t dt T a    0 1 0 ( ).cos . 2 1 1 t T t n f t n t dt T a  f t n t dt T b t T t n ( ).sin . 2 0 1 0 1 1     直流 系数 余弦分量 系数 正弦分量 系数 由 有：    2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 t t i t i i g t dt f t g t dt c t