例1.求幂级数∑=的收敛范围及和函数 解:幂级数的部分和 S.=1+z+z2+……+zn-1_1-二n ,(二≠1) (1)当1|<时,→imz=0,→limS n→)00 n→) 即当<时,幂级数∑=收敛,其和函数为S (2)当≥时,→lm="≠0,故级数发散 由以上讨论可知: 绝对收敛,=<1 复数幂级数∑“1发散21 2021/224
2021/2/24 19 • 例1． 0 . n n z = 求幂级数 的收敛范围及和函数 解：幂级数的部分和 2 1 1 1 , ( 1) 1 n n n z S z z z z z − − = + + + + = − (1) 1 lim 0 n n z z → 当 时， ， = 1 lim , 1 n n S → z = − 0 1 1 . 1 n n z z S z = = − 即当 时，幂级数 收敛，其和函数为 (2) 1 lim 0 n n z z → 当 时， ， 故级数发散. 由以上讨论可知： 0 1 : . 1 n n z z z = 绝对收敛， 复数幂级数 发散
3.收敛半径的求法 定理2:(比值法)设幂级数∑c系数有:m=20 n=0 则幂级数∑Cn=的收敛半径为R= 证明:由于im im1|=2 →<级数∑C=收敛,故级数∑C2在圆域日=内收敛 假设在圆=外有一点,使得∑C=收敛, 在圆外再取一点,使叫由阿尔定理∑C必定收敛 然而>,所以im A=>1,这与级数∑C-收敛矛盾 所以假设不成立,因而∑C2在圆域|=外发散 2021/224
2021/2/24 20 3．收敛半径的求法 定理2：（比值法） 0 n n n C z = 设幂级数 系数有： 1 lim 0 n n n C C + → = 0 1 . n n n C z R = 则幂级数 的收敛半径为 = 证明： 1 1 1 lim lim n n n n n n n n C z C z z C z C + + + → → 由于 ， = = 0 1 , n n n z C z = 级数 收敛， 0 1 . n n n C z z = 故级数 在圆域 内收敛 = 0 0 0 1 n n n z z C z = 假设在圆 外有一点 ，使得 收敛， = 1 1 0 在圆外再取一点 ，使 ， z z z 1 0 n n n C z = 由阿贝尔定理， 必定收敛 1 1 1 1 1 lim 1 n n n n n C z z z C z + + → 然而， ，所以 ， = 1 0 n n n C z = 这与级数 收敛矛盾， 0 n 1 n n C z z = 所以假设不成立，因而 在圆域 外发散. =
定理3:(根值法)设幂级数∑C="系数有mC川1=1≠0 则幂级数∑Cn=的收敛半径为R 例1.求下列幂级数的收敛半径 (∑二3并讨论在收敛圆周上的情形),(2(-1)讨论=0z=2时情形) (3∑( cos in)=",(4)∑(-)y (2n-1)2n-1 解:0m|mn1)=1所以收敛半径为R= 故幂级数∑二在圆周=内收敛,在=1外发散 n=I n 在圆周=1上,幂级数∑=∑收敛 2021/224
2021/2/24 21 定理3：（根值法） 0 n n n C z = 设幂级数 系数有 lim 0, n n n C → = 0 1 . n n n C z R = 则幂级数 的收敛半径为 = • 例1．求下列幂级数的收敛半径 3 1 (1) , ( n n z n = 并讨论在收敛圆周上的情形)， 1 ( 1) (2) , ( 0, 2 ) n n z z z n = − 讨论 时情形 = = 0 (3) (cos ) , n n in z = 1 2 1 0 (2 1) (4) ( ) . 2 n n n n n i z − − = − − 解： 1 3 (1)lim lim( ) 1, 1 n n n n C n C n + → → = = + 所以收敛半径为 ， R =1 3 1 1 1 . n n z z z n = 故幂级数 在圆周 内收敛，在 外发散 = = 3 3 1 1 1 1 . n n n z z n n = = 在圆周 上，幂级数 收敛 = =