第二节复变函数项级数 复变函数项级数 定义:设给定在区域D上有定义的一列函数列f(二)f2(=)…fn(二-)…, 称表达式:f()+f2(=)+…+f()+…=∑f(=) =1 为区域D内的复变函数项级数 该级数的前m项之和:Sn(=)=f1(=)+f2(=)+…+fn(二) 称为级数的部分和 对任二∈D若mS=)=(,则称级数∑/()在=处是收敛的, S(二a)就是它的和,即∑/(=0)=S(=0) 若级数∑/()在呐处处收敛,则∑/(=)和是n的一个函数S(= 即∑f(z)=S(,(和函数 2021/224
2021/2/24 14 第二节 复变函数项级数 ➢ 一、复变函数项级数 定义： 1 2 ( ), ( ), ( ), 设给定在区域 上有定义的一列函数列 ， D f z f z f z n 称表达式： 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f z f z f z f z = + + + + = 为区域 内的复变函数项级数. D 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n 该级数的前 项之和： n S z f z f z f z = + + + 称为级数的部分和． 0 0 0 lim ( ) ( ) n n z D S z S z → 对任一 ，若 ， = 0 1 ( ) n n f z z = 则称级数 在 处是收敛的， 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ). n n S z f z S z = 就是它的和,即 = 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n f z D f z D S z = = 若级数 在 内处处收敛，则 的和是 内的一个函数 ， 1 ( ) ( ) . n n f z S z = 即： ，（和函数） =
二、幂级数 1.幂级数概念 定义:形如∑C(z-a)”=C0+C(=-2)+C2(二-=0)2+…+Cn(=-)”+… 的级数,称为(x-=)舶幂级数(其中Cn,=为复常数) 形如∑Cn=的级数,称为幂级数,其中C为复常数 以后主要讨论形如∑Cn=的级数,而另一种令二-二=即可 2021/224
2021/2/24 15 ➢ 二、幂级数 1．幂级数概念 定义：形如 2 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n C z a C C z z C z z C z z = − = + − + − + + − + 0 0 ( ) , n 的级数，称为 的幂级数(其中 为复常数). z z C z − 0 n n n n C z z C = 形如： 的级数，称为 的幂级数，其中 为复常数. 0 0 . n n n C z z z t = 以后主要讨论形如 的级数，而另一种令 即可 − =
定理1:(阿贝尔定理(1)如果幂级数∑Cn2在==(=0≠0)收敛,则 1 则对满足||<|=的一切,幂级数∑Cn="必绝对收敛(2)如果幂级数 ∑Cn"在z==1(=1≠0)发散,则对满足||>|=1的一切,幂级数必发散 n= 阿贝尔定理告诉我们: 发散区域 中 z(发散点) (1)若幂级数在z=20≠0处收敛, 则在以0为中心,z|为半径的圆周 敛点 的任何点z幂级数绝对收敛 绝对收敛 (2)若幂级数在z=z1处发散, 则在以0为中心,叫1为半径的圆周 外的任何点z幂级数都发散 2021/224
2021/2/24 16 定理1：（阿贝尔定理） 0 0 1 (1) ( 0) n n n C z z z z = 如果幂级数 在 收敛，则 = 0 1 n n n z z z C z = 则对满足 的一切 ，幂级数 必绝对收敛； 1 1 1 1 ( 0) n n n C z z z z z z z = 在 发散，则对满足 的一切 ，幂级数必发散. = (2)如果幂级数 0 z ( ) 收敛点 0 z x y o 绝对收敛 1 z 1 发散区域 z (发散点) 阿贝尔定理告诉我们: 0 (1)若幂级数在 处收敛， z z = 0 0 则在以 为中心， 为半径的圆周 0 | | z 的任何点 幂级数绝对收敛 z . 1 (2)若幂级数在 处发散， z z = 1 则在以 为中心， 为半径的圆周 0 | | z 外的任何点 幂级数都发散. z
证明:必要性幂级数∑C=收敛,→limC23=0, →彐M>0,使得|Cn-kM, 由于|<|=,→使得<q<b <MO 由于级数∑M是公比小于的等比级数,故收敛 →∑(2收敛,→级数∑C=绝对收敛 充分性用反证可以证明.(略) 2021/224
2021/2/24 17 证明： 0 0 n n n C z = 幂级数 收敛， 0 lim 0, n n n C z → = 0 0, | | n M C z M 使得 ， n 0 0 , 1 z z z q q z 由于 ， 使得 ， 0 0 , n n n n n z C z C z Mq z = 0 1 n n Mq = 由于级数 是公比小于 的等比级数，故收敛. 0 n n n C z = 收敛， 0 n n n C z = 级数 绝对收敛. 充分性用反证可以证明．（略） 必要性
2.收敛圆与收敛半径 定义:若存在实数R>0 发散区域 <时,幂级数∑G="绝对收敛,R 当>附时,幂级数∑Cn=发散, 绝对收敛 则称以R为半径的圆周为 幂级数∑Cn2的收敛圆,R称为收敛半径 注意:在圆周=R上,幂级数∑C2可能收敛也可能发散, 不能作一般结论,要对具体幂级数进行具体分析 2021/224
2021/2/24 18 2．收敛圆与收敛半径 发散区域 定义： 若存在实数 ， R 0 0 , n n n z R C z = 当 时，幂级数 发散 0 n n n z R C z = 当 时，幂级数 绝对收敛； 则称以 为半径的圆周为 R 0 n n n C z R = 幂级数 的收敛圆， 称为收敛半径 x y o R 绝对收敛 注意： 0 n n n z R C z = 在圆周 上，幂级数 可能收敛也可能发散， = 不能作一般结论，要对具体幂级数进行具体分析