第4章确定最小安全系数的最优化方法97 图4.9 Powell法搜索方向e的改进 (a)1<<n情况;(b)1情况;(c)i=n情况 例44]说明对 Powel法所做的改进例 本例和[例42]具有相同的计算条件,采用折线滑裂面,参见图44。如果初始滑裂面 设为1,图45中线2和3分别代表未经改进和改进后的计算过程,可见改进后搜索效率大 大提高 采用这种改进的方法,要求各控制点都按同一方向朝临界滑裂面逼近。例如图42所 示例,可以将初始滑裂面布置在离估计的临界滑裂面稍远的地方,但A,B,C点都采用水平 向左的移动方向,即式(429)中的β均为零,通常可以很快地找到极值。 牛顿法 4.4.1负梯度法 负梯度法的基本思想是对一个初始滑裂面,寻找一个使安全系数减少速率最大的方向。 数学上,就是(,,…,这个向量。在这个方向上,进行一维搜索,找到这一方 向安全系数的低谷点,完成了这第一次迭代后,再在这个新的起点(即上述低谷区)重复 这样的运算,直到收敛至极值点 [例45]对[例42]使用负梯度法计算最小安全系数 在使用负梯度法时,分别以(840,160.0),(70.0,1450),(112.0,1500)作为起点,相应滑 裂面如图44中1,2,3示,使用负梯度法的搜索路径如图410中1,2,3三条折线所示,可 见每一次搜索均是沿着等值线的法线方向即下降速率最大的方向进行的。对这样一个比较 简单的算例,负梯度法相应不同初始输入的滑裂面都可以成功地找到极值
第 4 章 确定最小安全系数的最优化方法 97 图 4. 9 Powell 法搜索方向 i j e 的改进 (a) 1<i<n 情况 (b) i=1 情况 (c) i=n 情况 [例 4.4] 说明对 Powell 法所做的改进例 本例和[例 4.2]具有相同的计算条件 采用折线滑裂面 参见图 4.4 如果初始滑裂面 设为 1 图 4.5 中线 2 和 3 分别代表未经改进和改进后的计算过程 可见改进后搜索效率大 大提高 采用这种改进的方法 要求各控制点都按同一方向朝临界滑裂面逼近 例如图 4.2 所 示例 可以将初始滑裂面布置在离估计的临界滑裂面稍远的地方 但 A, B, C 点都采用水平 向左的移动方向 即式(4.29)中的β均为零 通常可以很快地找到极值 4. 4 牛顿法 4. 4. 1 负梯度法 负梯度法的基本思想是对一个初始滑裂面 寻找一个使安全系数减少速率最大的方向 数学上 就是 T nz F z F z F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , , 1 2 L 这个向量 在这个方向上 进行一维搜索 找到这一方 向安全系数的低谷点 完成了这第一次迭代后 再在这个新的起点 即上述低谷区 重复 这样的运算 直到收敛至极值点 [例 4.5] 对[例 4.2]使用负梯度法计算最小安全系数 在使用负梯度法时 分别以(84.0, 160.0), (70.0, 145.0), (112.0, 150.0)作为起点 相应滑 裂面如图 4.4 中 1, 2, 3 示 使用负梯度法的搜索路径如图 4.10 中 1, 2, 3 三条折线所示 可 见每一次搜索均是沿着等值线的法线方向即下降速率最大的方向进行的 对这样一个比较 简单的算例 负梯度法相应不同初始输入的滑裂面都可以成功地找到极值
98土质边坡稳定分析一原理·方法·程序 安仝系数等值线 x1,A点x坐标(m) 图4.10对[例42]使用负梯度法和DFP法计算最小安全系数 4.1.2DFP 法 1.基本原理 DFP法为 Davidon- Flefchen- Powell法的简称,其原理和详细分析方法参见文献(朱伯 芳等,1984)。 数学上的极值点是目标函数对各自变量的一次导数为零的点。也就是说,在极值点 aF aF G=(2,,0-2 均为零,同样要求由二阶导数构成的海色( Hessian)矩阵正定。海色矩 阵由下式定义 a2Fa2F H (430) a2F 称
98 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 图 4. 10 对[例 4.2]使用负梯度法和 DFP 法计算最小安全系数 4. 1. 2 DFP法 1. 基本原理 DFP 法为 Davidon−Flefchen−Powell 法的简称 其原理和详细分析方法参见文献 朱伯 芳等 1984 数学上的极值点是目标函数对各自变量的一次导数为零的点 也就是说 在极值点 ( , , , ) 1 2 nz F z F z F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G = L 均为零 同样要求由二阶导数构成的海色(Hessian)矩阵正定 海色矩 阵由下式定义 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ... ... n n n z F z z F z F z z F z z F z F 称 对 O M H (4.30)