92土质边坡稳定分析一原理·方汝猩序 显然,从=到=+2,目标函数是下降的。因此以和=n+2两点的联线作为搜索方向。 3.优化计算 (1)反射。沿搜索方向=和=2点向前再走一步,步长为a(zn+2-zH),到达=+3点 二y+3称为反射点,∞>0称为反射系数。计算反射点的目标函数,并根据它的大小来决 定下一步的走法 (2)扩张。如果反射点的函数值小于z1点的函数值,即 F(zn+3)<F(a 则表明反射后情况有所改善,沿搜索方向,zn2还可以试探一下,是否可以走得更远一 些,即是否可以扩张到zn+4点 式中11为扩张系数。 如果F(zm4)<F(z),则以zn4点替换原来的最坏点n,构成新的单纯形,转入第4 步进行收敛判断。 如果r(zn+4)≥(z2),则以zn+3点替换z},构成新的单纯形,也转入第(4)步进行收敛 判断 (3)收缩。如果反射点的函数值大于次坏点的函数值,即 表明反射点走得太远,需要缩回去,按下式计算 式中0<B<1是收缩系数,用zn+5代替zH,构成新的单纯形,并转入第(4)步。 (4)缩小边长。如果反射点函数值大于最坏点函数值,即v(zm+3)>V(zH),则缩小单 纯形的边长,以最好点zL为顶点,其它各顶点向z移近一半距离,即按下式计算 z}=x+0.5(x}-z),i=0.1,2,,n (418) 得到新的单纯形,转入第(4)步重复计算。 4.收敛判断 按照一定的方式通过反射,扩充和收缩,使单形不断更新逼近极值点。收敛准则为
92 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 显然 从 ν zH 到 ν n+2 z 目标函数是下降的 因此以 ν zH 和 ν n+2 z 两点的联线作为搜索方向 3. 优化计算 (1) 反射 沿搜索方向 ν zH 和 ν n+2 z 点向前再走一步 步长为 ( ) 2 v H v n z − z α + 到达 ν n+3 z 点 ( ) 3 2 2 v H v n v n v nz = z + z − z + + α + (4.13) ν n+3 z 称为反射点 α>0 称为反射系数 计算反射点的目标函数 并根据它的大小来决 定下一步的走法 (2) 扩张 如果反射点的函数值小于 zL点的函数值 即 ( ) ( ) v F F L z z v n+3 < (4.14) 则表明反射后情况有所改善 沿搜索方向 v n v H +2 z ,z 还可以试探一下 是否可以走得更远一 些 即是否可以扩张到 v n+4 z 点 ( ) 4 2 3 2 v n v n v n v n v + = + + + − + z z z z (4.15) 式中 v>1 为扩张系数 如果 ( ) ( ) 4 v L v F zn < F z + 则以 v n+4 z 点替换原来的最坏点 H z 构成新的单纯形 转入第 4 步进行收敛判断 如果 ( ) ( ) 4 v L v V zn ≥ V z + 则以 v n+3 z 点替换 v Hz 构成新的单纯形 也转入第(4)步进行收敛 判断 (3) 收缩 如果反射点的函数值大于次坏点的函数值 即 ( ) ( ) 3 v G v V zn > V z + (4.16) 表明反射点走得太远 需要缩回去 按下式计算 ( ) 5 2 2 v n v H v n v n+ = + + − + z z β z z (4.17) 式中 0<β<1是收缩系数 用 v n+5 z 代替 v zH 构成新的单纯形 并转入第(4)步 (4) 缩小边长 如果反射点函数值大于最坏点函数值 即 ( ) ( ) 3 v H v n V z >V z + 则缩小单 纯形的边长 以最好点 Lz 为顶点 其它各顶点向 Lz 移近一半距离 即按下式计算 i n v L v i v i z = z + 0.5(z − z ), = 0,1,2,..., v L (4.18) 得到新的单纯形 转入第(4)步重复计算 4. 收敛判断 按照一定的方式通过反射 扩充和收缩 使单形不断更新逼近极值点 收敛准则为 ∑ [ ] − ≤ ε + + − 2 2 0 ( ) ( ) 1 1 v n v i n i v v n z z (4.19)
第4章确定最小安全系数的最优化方法 式中:ε为要求的计算精度。如式(419)满足,则结束计算,并以z作为极小点。否则, 置ν=ν+1,转至第3步,重复计算 据已有经验,可取ax=1;,04≤β≤0.6,2.0≤y≤3.0。经 Nelder和Mead论证,为使单纯形 适应函数的性态及便于收敛,a不宜比1大很多,而α<1的计算次数比a=1要多,故折衷 取α=1。另外,认为β的数值变化对搜索效率的影响比γ要大。他们推荐采用 28≤y≤3.0 421) [例42]说明单形法计算过程例 为了形象直观地了解单形法在搜索最小安全系数时的工作状况,我们考察图44所示 的一个有两个自由度的例子滑裂面。它由ABC组成。计算时令C点固定不动,A,B两点 沿水平线移动,则该滑裂面的安全系数F由A点的x坐标x1和B点的x坐标x决定。图45 示F相应x1,x2的等值线图。根据枚举法可以发现在x1=92.0,x2=143.0时安全系数获得最小 值1257,相应临界滑裂面如图44中标5的那个滑裂面 图4.4具有两个自由度的算例 1,2,3,4-初始滑裂面;5-临界滑裂面 如果使用单形法,则按式(49)初始生成的单形即三个滑裂面如图45在左下角三角形 所示,最大、次大和最小分别为A、B、C三点。D为按式(412)所得的新的顶点。AD代 表了两点联线的方向,D代表了第一次反射和扩张后达到的点。第一次迭代后,形成了B、 C、D构成的新的单形。开始新的一轮迭代。依次循环,最终达到安全系数的极值E。搜索 过程如图45中折线1所示,最终收敛到Fm=1257相应的z=(92.00,14300y
第 4 章 确定最小安全系数的最优化方法 93 式中 ε为要求的计算精度 如式(4.19)满足 则结束计算 并以 v Lz 作为极小点 否则 置 v=v+1 转至第 3 步 重复计算 据已有经验 可取α=1; 0.4 ≤ β ≤ 0.6; 2.0 ≤ γ ≤ 3.0 经 Nelder 和 Mead 论证 为使单纯形 适应函数的性态及便于收敛 α不宜比 1 大很多 而α < 1 的计算次数比α=1 要多 故折衷 取α=1 另外 认为β的数值变化对搜索效率的影响比γ要大 他们推荐采用 0.4 ≤ β ≤ 0.6 (4.20) 2.8 ≤ γ ≤ 3.0 (4.21) [例 4.2] 说明单形法计算过程例 为了形象直观地了解单形法在搜索最小安全系数时的工作状况 我们考察图 4.4 所示 的一个有两个自由度的例子滑裂面 它由 ABC 组成 计算时令 C 点固定不动 A, B 两点 沿水平线移动 则该滑裂面的安全系数 F 由 A 点的 x 坐标 x1和 B 点的 x 坐标 x2决定 图 4.5 示 F 相应 x1, x2的等值线图 根据枚举法可以发现在 x1=92.0, x2=143.0 时安全系数获得最小 值 1.257 相应临界滑裂面如图 4.4 中标 5 的那个滑裂面 图 4. 4 具有两个自由度的算例 1, 2, 3, 4−初始滑裂面 5−临界滑裂面 如果使用单形法 则按式(4.9)初始生成的单形即三个滑裂面如图 4.5 在左下角三角形 所示 最大 次大和最小分别为 A B C 三点 D 为按式(4.12)所得的新的顶点 AD 代 表了两点联线的方向 D 代表了第一次反射和扩张后达到的点 第一次迭代后 形成了 B C D 构成的新的单形 开始新的一轮迭代 依次循环 最终达到安全系数的极值 E 搜索 过程如图 4.5 中折线 1 所示 最终收敛到 Fm=1.257 相应的 z m=(92.00, 143.00)T
94土质边坡德定分析一原理方法程序 安全系数等值线 初始单 x1,A点x坐标(m) 图4.5对图44示例用单形法计算过程 D (D2,D3) C1(C2,C3) 软弱夹层c=9.8kPa,∮=1 图4.6具有软弱夹层的算例 [例4.3]使用单形法计算最小安全系数 图46具有分层剖面和一个倾斜的软弱夹层。图中示4个不同的初始滑裂面。点A和 B可以不受限制地自由移动,故自由度为2。同时,此两点有意未设在边坡面上,以说明 程序在搜索过程中将进行判断和调整,自动找到滑面与坡面的交点。C和B点位于夹层上 因此,自由度为1。该两点在搜索过程中将沿一定方向β移动,β为该夹层的倾角。图47中 滑裂面3为采用单纯形法获得的临界滑裂面,相应安全系数为1025
94 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 图 4. 5 对图 4.4 示例用单形法计算过程 图 4. 6 具有软弱夹层的算例 [例 4.3] 使用单形法计算最小安全系数 图 4.6 具有分层剖面和一个倾斜的软弱夹层 图中示 4 个不同的初始滑裂面 点 A 和 B 可以不受限制地自由移动 故自由度为 2 同时 此两点有意未设在边坡面上 以说明 程序在搜索过程中将进行判断和调整 自动找到滑面与坡面的交点 C 和 B 点位于夹层上 因此 自由度为 l 该两点在搜索过程中将沿一定方向β移动 β为该夹层的倾角 图 4.7 中 滑裂面 3 为采用单纯形法获得的临界滑裂面 相应安全系数为 1.025
第4章确定最小安全系数的最优化方法 C1(C2,C3,C1) B2,B3) 图4.7对图46示例用最优化方法计算过程 临界滑裂面:1-改良后的DFP法,F=1.025;2-负梯度法,F=1.025 3-单形法,F=1.025;4-DFP法,F=1.025 4.1.2Powe法 1.基本原理 有关此法的详细原理可参阅文献(朱伯芳等,1984)。其基本算法如下。 (1)给定初始点,并令 S=(0.0,,1.,0)7 (422) 式(422)右端的1处于第i位,i=1,2,,n (2)相应迭代步i=1,进行一次一维搜索,第一次搜索方向P=S,使 (乙1-1+axP)=极小 并令 P 然后令i=计1,重复上述过程,直至i=n为止。 (3)取P=p1,=12,,n1,并令 Pn=2n-20 (4.25) 通过这一步,增加zn-,丟弃原来的坐标方向P1。 (4)沿xn-z作一次一维搜索,求xn,使x2+anPn)=极小,并令 然后转向第(2)步。 (5)重复进行上述运算n次,即沿n个互相共轭的方向都进行了一维搜索,然后作如 下判断 kmP
第 4 章 确定最小安全系数的最优化方法 95 图 4. 7 对图 4.6 示例用最优化方法计算过程 临界滑裂面 1−改良后的 DFP 法 Fm=1.025 2−负梯度法 Fm =1.025 3−单形法 Fm =1.025 4−DFP 法 Fm =1.025 4. 1. 2 Powell法 1. 基本原理 有关此法的详细原理可参阅文献 朱伯芳等 1984 其基本算法如下 (1) 给定初始点 z0 并令 i T S = (0,0,...,1,...,0) (4.22) 式(4.22)右端的 1 处于第 i 位 i=1,2,…,n (2) 相应迭代步 i=1 进行一次一维搜索 第一次搜索方向 pi=Si 使 V(zi−1 +αi pi) = 极小 (4.23) 并令 i i i i z = z +α p −1 (4.24) 然后令 i=i+1 重复上述过程 直至 i=n 为止 (3) 取 pi=pi+1, i=1,2,…,n−1 并令 0 p = z − z n n (4.25) 通过这一步 增加 0 z − z n 丢弃原来的坐标方向 1p (4) 沿 zn−z0作一次一维搜索 求αn 使 V(zn+αn pn)=极小 并令 n n pn z0 = z +α (4.26) 然后转向第(2)步 (5) 重复进行上述运算 n 次 即沿 n 个互相共轭的方向都进行了一维搜索 然后作如 下判断 α < ε n n p (4.27)
96土质边坡德定分析一原理方法程序 如上述判据满足则结束计算,此时x0即为所求极小点,否则转向第(1)步。 2.应用 Powell法时所做的改进 在采用 Powel法进行计算时,第一步需要确定n个独立的搜索方向。在大多数情况下, 都采用与n个自变量坐标轴方向一致的单位向量,即由式(422)定义的S。 这种处理方式并不适于边坡稳定分析。参见图48(a)所示一个有两个自由度例子。按 Powell法,第一步固定B点不同,让A 点沿水平方向移动到A,使安全系数达 到极小值,显然能够移动的范围是很有限 的。第二步固定A不动,B在其移动方向 到达B’,再次得一个极小值,其移动范围 更为有限,这样的搜索效率很低,当自由 度较多时,事实上无法实现有效的搜索。 设想如果在A点移动时,让B点也向前 第二次迭代 移动一定值,第一次一维搜索就可以使初 第一次迭代值z向极值zm迈进一大步,如图48(b 因此,在构筑S时,我们的思路是,当某 控制点在移动方向搜索最小值时,要求 其邻近的点也按一定的比例移动,使滑裂 图.8在边坡稳定分析中使用 Powell法作的改进整体而不是局部在优化计算中不断地调 (a)未作改进;(b)改进后 整,以迅速地达到极值点。 为此按下式构筑n个向量S(=12,3,,n) (428) 按下式确定e(=2,3,,n) cs(B/-B)~布 当≤时 cost(B-B.)I-31 当i=1时,总是用(429)的下式;i=n时,总是用式(429)的上式。c的物理意义是当 第i个变量沿其搜索方向移动一个单位值时,邻近的点j都将在其移动方向获得一个增量 e,这个增量值取决于第j点距端点(与j同侧的那个)的水平距离,在=0和i=n时等 于零,ij时等于1,其余点按线性分布原则确定内插。参见图49
96 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 如上述判据满足则结束计算 此时 z0即为所求极小点 否则转向第(1)步 2. 应用 Powell 法时所做的改进 在采用 Powell 法进行计算时 第一步需要确定 n 个独立的搜索方向 在大多数情况下 都采用与 n 个自变量 zi坐标轴方向一致的单位向量 即由式(4.22)定义的 Si 这种处理方式并不适于边坡稳定分析 参见图 4.8(a)所示一个有两个自由度例子 按 图 4. 8 在边坡稳定分析中使用 Powell 法作的改进 (a) 未作改进 (b) 改进后 Powell 法 第一步固定 B 点不同 让 A 点沿水平方向移动到 A′ 使安全系数达 到极小值 显然能够移动的范围是很有限 的 第二步固定 A′不动 B 在其移动方向 到达 B′ 再次得一个极小值 其移动范围 更为有限 这样的搜索效率很低 当自由 度较多时 事实上无法实现有效的搜索 设想如果在 A 点移动时 让 B 点也向前 移动一定值 第一次一维搜索就可以使初 值 z0 向极值 z m 迈进一大步 如图 4.8 (b) 因此 在构筑 Si 时 我们的思路是 当某 一控制点在移动方向搜索最小值时 要求 其邻近的点也按一定的比例移动 使滑裂 面整体而不是局部在优化计算中不断地调 整 以迅速地达到极值点 为此按下式构筑 n 个向量 (i 1,2,3,..., n) i S = Τ = ( , ,..., ) 1 2 i n i i i S e e e (4.28) 按下式确定e (i 1,2,3,..., n) i j = > − − − ≤ − − − = 当 时 当 时 i j x x x x i j x x x x e n i n j j i i j j i i j cos( ) cos( ) 1 1 β β β β (4.29) 当 i=1 时 总是用(4.29)的下式 i=n 时 总是用式(4.29)的上式 i j e 的物理意义是当 第 i 个变量沿其搜索方向移动一个单位值时 邻近的点 j 都将在其移动方向获得一个增量 i j e 这个增量值取决于第 j 点距端点 与 j 同侧的那个 的水平距离 在 i=0 和 i=n 时等 于零 i=j 时等于 1 其余点按线性分布原则确定内插 参见图 4.9