基于交替迭代混沌系统的图像加密算法

D0I:10.13374/h.issn1001-053x.2012.04.015 第34卷第4期 北京科技大学学报 Vol.34 No.4 2012年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2012 基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 徐 刚2)四张亚东)张新祥” 张啸剑) 1)河南财经政法大学计算机与信息工程学院，郑州4500022)北京科技大学自动化学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:xgtony(@163.com 摘要基于logistic映射和时空混沌系统，设计了一个密钥长度为256bit的图像分组密码算法，将256bit的明文图像分组加 密为等长的密文图像.该算法引入的辅助密钥和设计的迭代次数敏感地依赖于明文分组和密钥，交替迭代混沌系统及Aold 映射实现了像素值的扰乱和位置置乱.计算机仿真和密码分析表明，该算法具有对明文和密钥敏感、密钥空间大和可扩展性 强等特点，具有良好的加密效果和较强的抗攻击性能，适用于安全通信领域. 关键词图像传输系统：图像编码：加密：混沌系统：耦合映像格子 分类号TP309.2 Digital image encryption algorithm based on an alternating iterative chaotic system XU Gang2☒，ZHANG Ya-dong》,ZHANG Xin-xiang》,，ZHANG Xiaojian》 1)College of Computer and Information Engineering,Henan University of Economics and Law,Zhengzhou 450002,China 2)School of Automation,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:xgtony@163.com ABSTRACT A block image encryption algorithm with a 256 bit key was designed based on a logistic map and a spatiotemporal chaot- ic system.The algorithm encrypts a block of original image into a block of cipher image with the same length of 256 bit.An auxiliary key brought in and iterations designed in the algorithm are sensitive to the original image and secret keys.An alternating iterative chaot- ic system and an Arnold map disturb pixel values and shuffle the positions of pixels.The results of computer simulation and cryptanaly- sis show that the algorithm is characteristic of excellent sensitivity to the original image and keys,large secret key space and high ex- pansibility.The algorithm also has excellent effective encryption and strong anti-attacking performance.It is indicated that the algo- rithm is suitable for security communication. KEY WORDS image communication systems;image coding;encryption:chaotic systems;coupled map lattices 随着多媒体技术在现代通信中的广泛使用，数 步系统（广义Henon映射）扰乱像素值进行加密； 字图像传输的保密性受到了越来越多的重视.数字 Behnia等间和Lian分别使用混合的混沌系统和 图像信息具有的数据冗余强、数据量大和相邻像素 时空混沌来扰乱像素值.这些仅扰乱像素值的方法 点相关性强等特点，使得图像的加密方法不同于传 局限性在于攻击者一旦破译加密矩阵就可破译加密 统的针对文本信息的加密方法.近年来的研究表 图像：同样对于仅进行图像像素位置置乱的加密算 明，混沌系统以其对初始条件的极端敏感性、遍历性 法，由于图像的像素值没有变化，很容易被统计攻击 和生成序列的伪随机性等特性，使得混沌图像加密 或以比较像素值的方法攻破. 研究出现了很多新的方案.Kwk等给出了一种 为提高加密算法的安全性，樊春霞等日提出运 流密码图像加密算法，利用斜帐篷映射和高维猫映 用logistic映射改变明文图像的灰度值，一类标准映 射扰乱图像像素值：臧鸿雁等同用离散广义混沌同 射用于位置置乱进行图像加密的方案；郑凡等因给 收稿日期：201102-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61170037)

第 34 卷 第 4 期 2012 年 4 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 4 Apr． 2012 基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 徐 刚1，2) 张亚东1) 张新祥1) 张啸剑1) 1) 河南财经政法大学计算机与信息工程学院，郑州 450002 2) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 通信作者，E-mail: xgtony@ 163． com 摘 要 基于 logistic 映射和时空混沌系统，设计了一个密钥长度为 256 bit 的图像分组密码算法，将 256 bit 的明文图像分组加 密为等长的密文图像． 该算法引入的辅助密钥和设计的迭代次数敏感地依赖于明文分组和密钥，交替迭代混沌系统及 Arnold 映射实现了像素值的扰乱和位置置乱． 计算机仿真和密码分析表明，该算法具有对明文和密钥敏感、密钥空间大和可扩展性 强等特点，具有良好的加密效果和较强的抗攻击性能，适用于安全通信领域． 关键词 图像传输系统; 图像编码; 加密; 混沌系统; 耦合映像格子 分类号 TP309. 2 Digital image encryption algorithm based on an alternating iterative chaotic system XU Gang1，2) ，ZHANG Ya-dong1) ，ZHANG Xin-xiang1) ，ZHANG Xiao-jian1) 1) College of Computer and Information Engineering，Henan University of Economics and Law，Zhengzhou 450002，China 2) School of Automation，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: xgtony@ 163． com ABSTRACT A block image encryption algorithm with a 256 bit key was designed based on a logistic map and a spatiotemporal chaot￾ic system． The algorithm encrypts a block of original image into a block of cipher image with the same length of 256 bit． An auxiliary key brought in and iterations designed in the algorithm are sensitive to the original image and secret keys． An alternating iterative chaot￾ic system and an Arnold map disturb pixel values and shuffle the positions of pixels． The results of computer simulation and cryptanaly￾sis show that the algorithm is characteristic of excellent sensitivity to the original image and keys，large secret key space and high ex￾pansibility． The algorithm also has excellent effective encryption and strong anti-attacking performance． It is indicated that the algo￾rithm is suitable for security communication． KEY WORDS image communication systems; image coding; encryption; chaotic systems; coupled map lattices 收稿日期: 2011--02--20 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61170037) 随着多媒体技术在现代通信中的广泛使用，数 字图像传输的保密性受到了越来越多的重视． 数字 图像信息具有的数据冗余强、数据量大和相邻像素 点相关性强等特点，使得图像的加密方法不同于传 统的针对文本信息的加密方法． 近年来的研究表 明，混沌系统以其对初始条件的极端敏感性、遍历性 和生成序列的伪随机性等特性，使得混沌图像加密 研究出现了很多新的方案． Kwok 等［1］给出了一种 流密码图像加密算法，利用斜帐篷映射和高维猫映 射扰乱图像像素值; 臧鸿雁等［2］用离散广义混沌同 步系统( 广义 Henon 映射) 扰乱像素值进行加密; Behnia 等［3］和 Lian ［4］分别使用混合的混沌系统和 时空混沌来扰乱像素值． 这些仅扰乱像素值的方法 局限性在于攻击者一旦破译加密矩阵就可破译加密 图像; 同样对于仅进行图像像素位置置乱的加密算 法，由于图像的像素值没有变化，很容易被统计攻击 或以比较像素值的方法攻破． 为提高加密算法的安全性，樊春霞等［5］提出运 用 logistic 映射改变明文图像的灰度值，一类标准映 射用于位置置乱进行图像加密的方案; 郑凡等［6］给 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.04.015

第4期 徐刚等：基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 ·465· 出一种基于改进Henon映射的像素值扰乱算法，然 条件满足x,(O)=x。(L).局部映射f可取扩展帐篷 后进行位置置乱：Patidar等m用一种替代一扩散结 映射 构对彩色图像像素和位置扰乱：陈艳峰等网提出一 xi/a, 0<x;<a, 种分段交替迭代混沌的图像扰乱和位置置乱算法. f:x+1= (1-x)/(1-a),a≤x:<1, (3) 这些算法既扰乱像素值又置乱像素位置，相得益彰， B, x=0,1. 能够克服单纯使用其中一种方法的弱点，保密性 式中，a,B为常数且0<a,B<1,a≠B,f(B)≠a. 更好 当x:∈D,1]时，系统处于混沌状态. 本文提出了一种基于logistic映射和时空混沌 时空混沌具有不可逆性，有优于低维度混沌系 系统的分组图像加密算法.算法中引入了辅助密 统的良好的混淆和扩散特性以及对初始值和参数的 钥，用一个具有复杂动力学行为的交替迭代混沌系 敏感性等特性0-. 当初始条件为D,1]内的随机 统，去驱动一个一维耦合映像格子模型，产生时空混 数，参数a=0.5,B=0.1,L=16,e=0.05时，耦合映 沌序列，而该序列由于辅助密钥的引入，对密钥和明 像格子系统呈现如图1所示的混沌行为. 文图像分组都很敏感，达到密码系统的混淆和扩散 效果.混沌迭代和辅助密钥增加了算法的复杂度和 安全性.仿真实验的结果表明，这种图像加密算法 1.0m 0.8 是安全有效的 0.6 1混沌系统 0.4 0.2 logistic映射是一种在混沌密码中常用的一维离 o. 散动态自治系统，可以通过微小的改变参数值或初 15 200 10 150 值来产生完全不同的伪随机序列.其动力学方程为 00 50100 x+1=x:(1-x） (1) 图1耦合扩展帐篷映射的时空混沌图 式中μ∈D,4]被称为logistic参数，初值x。∈(0， Fig.I Spatiotemporal chaos map of a coupling expand tent map 1);x:为状态变量在第i次迭代的值.随着参数u 的增加，系统(1)不断地经历倍周期分叉最终达到 2 基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 混沌状态.当控制参数满足3.599456<u≤4时，对 于不同的初值，迭代生成的状态值均处于伪随机分 本文算法分为两部分：像素值扰乱和像素位置 布的混沌状态 置乱.第一部分由256bit的明文产生256bit的密 时空混沌系统的基本模型—耦合映像格子 文，主要完成对明文像素的扰乱.明文分组在加密 (coupled map lattices,CML)是由日本学者Kaneko 过程中使用了一个基于明文和密钥变化而变化的辅 提出来的，耦合映像格子在时间上和空间上均具有 助密钥.首先从初始条件出发交替迭代logistic映射 混沌行为，有多个正李雅普诺夫指数.其定义如下： 和扩展帐篷(tent)映射生成序列，该序列驱动映像 格子快速产生时空混沌序列：然后将此序列比特串 x+()=(1-e)fx,()+号f(x(i+1)+ 做循环左移运算得到新序列，与明文像素分组异或 f(xn(i-1))]. (2) 产生密文像素分组.算法的关键是辅助密钥和混沌 式中：n为离散时间步数；i=1,2,,L为离散格子 置乱序列的产生，明文像素分组的加密过程如图2 的坐标：xn(i)为第i个格子在n时刻的状态：耦合 所示 系数ε∈(0,1)；L为系统尺寸：f为演化规则，边界 第二部分作像素位置置乱.首先将生成的各个 明文像索分组 异或 文像素分组 父替迭代 主密钥 辅助密钥 logistie映射 扩展Temt映射 映像格子 图2明文像素分组的加密 Fig.2 Eneryption of an original image pixel block

第 4 期 徐 刚等: 基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 出一种基于改进 Henon 映射的像素值扰乱算法，然 后进行位置置乱; Patidar 等［7］用一种替代--扩散结 构对彩色图像像素和位置扰乱; 陈艳峰等［8］提出一 种分段交替迭代混沌的图像扰乱和位置置乱算法． 这些算法既扰乱像素值又置乱像素位置，相得益彰， 能够克服单纯使用其中一种方法的弱点，保密性 更好． 本文提出了一种基于 logistic 映射和时空混沌 系统的分组图像加密算法． 算法中引入了辅助密 钥，用一个具有复杂动力学行为的交替迭代混沌系 统，去驱动一个一维耦合映像格子模型，产生时空混 沌序列，而该序列由于辅助密钥的引入，对密钥和明 文图像分组都很敏感，达到密码系统的混淆和扩散 效果． 混沌迭代和辅助密钥增加了算法的复杂度和 安全性． 仿真实验的结果表明，这种图像加密算法 是安全有效的． 1 混沌系统 logistic 映射是一种在混沌密码中常用的一维离 散动态自治系统，可以通过微小的改变参数值或初 值来产生完全不同的伪随机序列． 其动力学方程为 xi + 1 = μxi ( 1 － xi ) ． ( 1) 式中: μ∈［0，4］被称为 logistic 参数，初值 x0 ∈( 0， 1) ; xi 为状态变量在第 i 次迭代的值． 随着参数 μ 的增加，系统( 1) 不断地经历倍周期分叉最终达到 混沌状态． 当控制参数满足 3. 599 456 ＜ μ≤4 时，对 于不同的初值，迭代生成的状态值均处于伪随机分 布的混沌状态． 图 2 明文像素分组的加密 Fig． 2 Encryption of an original image pixel block 时空混沌系统的基本模型———耦合映像格子 ( coupled map lattices，CML) 是由日本学者 Kaneko ［9］ 提出来的，耦合映像格子在时间上和空间上均具有 混沌行为，有多个正李雅普诺夫指数． 其定义如下: xn + 1 ( i) = ( 1 － ε) f( xn ( i) ) + ε 2 ［f( xn ( i + 1) ) + f( xn ( i － 1) ) ］． ( 2) 式中: n 为离散时间步数; i = 1，2，…，L 为离散格子 的坐标; xn ( i) 为第 i 个格子在 n 时刻的状态; 耦合 系数 ε∈( 0，1) ; L 为系统尺寸; f 为演化规则，边界 条件满足 xn ( 0) = xn ( L) ． 局部映射 f 可取扩展帐篷 映射 f: xi + 1 = xi /α， 0 ＜ xi ＜ α， ( 1 － xi ) /( 1 － α) ， α≤xi ＜ 1， β， x { i = 0，1． ( 3) 式中，α，β 为常数且 0 ＜ α，β ＜ 1，α≠β，fα ( β) ≠α． 当 xi∈［0，1］时，系统处于混沌状态． 时空混沌具有不可逆性，有优于低维度混沌系 统的良好的混淆和扩散特性以及对初始值和参数的 敏感性等特性［10--11］． 当初始条件为［0，1］内的随机 数，参数 α = 0. 5，β = 0. 1，L = 16，ε = 0. 05 时，耦合映 像格子系统呈现如图 1 所示的混沌行为． 图 1 耦合扩展帐篷映射的时空混沌图 Fig． 1 Spatiotemporal chaos map of a coupling expand tent map 2 基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 本文算法分为两部分: 像素值扰乱和像素位置 置乱． 第一部分由 256 bit 的明文产生 256 bit 的密 文，主要完成对明文像素的扰乱． 明文分组在加密 过程中使用了一个基于明文和密钥变化而变化的辅 助密钥． 首先从初始条件出发交替迭代 logistic 映射 和扩展帐篷( tent) 映射生成序列，该序列驱动映像 格子快速产生时空混沌序列; 然后将此序列比特串 做循环左移运算得到新序列，与明文像素分组异或 产生密文像素分组． 算法的关键是辅助密钥和混沌 置乱序列的产生，明文像素分组的加密过程如图 2 所示． 第二部分作像素位置置乱． 首先将生成的各个 ·465·

·466 北京科技大学学报 第34卷 密文像素分组，用Matlab软件的矩阵成型函数re- 1.0 shape()将各个分组组合成矩阵的形式，重新置乱 0.9 =0.566358 ).566359 矩阵的各位置，得到加密的密文图像.本文采用二 0.8 维Arnold混沌映射来完成像素位置置乱. 0.7 0.6 2.1算法原理 05 一种安全性好的加密算法不仅要求密文敏感地 0.4 依赖于密钥，也要求其敏感地依赖于明文，并且密文 0.3 在密文空间中均匀分布.本算法引入的辅助密钥， 0.2 既依赖于明文图像的大小和像素值，又依赖于密钥， 200 240 280 320 360 400 使得不同的明文或密钥每次都会产生不同的辅助密 迭代次数 钥.辅助密钥的构造方法是：首先求出明文大小N× 图3不同初值下交替迭代序列的分布图 N、明文分组像素值之和以及密钥之和，三者相乘的 Fig.3 Distribution of a sequence generated by an altemating iterative chaotic system under different original conditions 结果再作模256运算，最后除以256生成一个(0,1) 之间的辅助密钥.由于混沌初值对明文己经有很强 2.2加密算法描述 的依赖作用，这种辅助密钥对混沌初值和参数的调 设P表示大小为N×N的灰度图像(N为图像 制作用（相乘），增加了算法对明文和密钥的敏感 的像素行数和列数)，加（解）密密钥K={k,k2,…, 性，可以抵抗差分攻击☒和已知明文攻击：同时增 k2}为256bit,k代表K的第i个字节.加密步骤如 大了密钥空间，使破译者的穷尽搜索攻击变得更加 下（如图2）. 困难.算法设计的混沌迭代次数是对明文分组和密 (1)明文图像的分组.明文图像的像素值P(i, 钥之和作模256运算，这种设计使混沌迭代次数可 )按行的顺序从上到下、从左到右首尾相接变换成 以根据分组和密钥的不同来动态的选取 序列，以32个明文像素点(256bit)为一个明文像素 混沌密码分析方法主要是根据所截获信号的混 分组，最后一组不足256bit的用0补齐，记为P= 沌动力学行为来重构相空间，得出混沌映射的数学 P1P2,“,P…P,(i=1,2,…,T）,P:表示明文的第i 表达式，再通过分析大量的明文一密文对获得加密 个分组.P(i,)表示矩阵的第i行第j列位置的像 算法，甚至破译出整个明文或密钥.交替迭代logs- 素值. tic映射和扩展帐篷映射生成随机序列的方法，增强 (2)设定初值和参数.设定logistic映射的初值 了算法的扩散效果，能有效避免单混沌系统由于信 xo和参数值山，耦合扩展帐篷映射参数aB及E. 号的泄露而导致的相空间重构攻击.交替迭代式 (3)生成辅助密钥.辅助密钥由下式生成，它与 (2)和式(3)生成的序列对初值有很好的敏感性，如 明文像素分组和密钥都有关联，其中辅助密钥8∈ 图3所示，横坐标表示迭代次数，纵坐标表示生成序 (0,1) 列的取值范围(0,1)，在依次迭代200~400次，初 =26{[NxNx( P(i,j)t 值为x=0.566358和y=0.566359时，序列的分 布差别很大 (4) 交替迭代后耦合映像格子生成的序列（类似于 言)川m30 图1)具有很好的密码学特性，比单混沌的生成序列 在本算法中，辅助密钥用于调控混沌系统的初值和 具有更好的随机性和相关性©；序列的线性复杂度 参数，用δ分别乘以x。μ、aB和ε产生新的系统初 高，初始值x。=0.566358在图1的参数控制下演 值x6和参数μ'、a'B和E 化，取长度为256bit的生成序列，按照Berlekamp- (4)交替迭代混沌系统.x。和μ'作为初值和参 Massey算法计算D的线性复杂度为127，十分逼近 数，交替迭代logistic和扩展帐篷映射，即把式(2)的 于理想值256/2=128，说明生成的序列有理想的线 输出作为式(3)的输入，再将式(3)的输出作为式 性复杂度，具备很好的抵抗线性攻击的能力：易于批 (2)的输入，如此反复迭代1000+r+D次，从得到 量的生产，非常适合于图像加密领域 的式(3)的输出序列中取后r个状态值，作为耦合映 基于以上因素，本文采用交替迭代混沌系统的 像格子的驱动序列.其中迭代的前1000次为预迭 方法，在辅助密钥的控制下扰乱像素值，并对像素位 代，以增强混沌序列对初值的敏感性.迭代次数D 置置乱进行加密 依赖于明文分组和密钥，用如下方法产生：

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 密文像素分组，用 Matlab 软件的矩阵成型函数 re￾shape( ) 将各个分组组合成矩阵的形式，重新置乱 矩阵的各位置，得到加密的密文图像． 本文采用二 维 Arnold 混沌映射来完成像素位置置乱． 2. 1 算法原理 一种安全性好的加密算法不仅要求密文敏感地 依赖于密钥，也要求其敏感地依赖于明文，并且密文 在密文空间中均匀分布． 本算法引入的辅助密钥， 既依赖于明文图像的大小和像素值，又依赖于密钥， 使得不同的明文或密钥每次都会产生不同的辅助密 钥． 辅助密钥的构造方法是: 首先求出明文大小N × N、明文分组像素值之和以及密钥之和，三者相乘的 结果再作模256 运算，最后除以256 生成一个( 0，1) 之间的辅助密钥． 由于混沌初值对明文已经有很强 的依赖作用，这种辅助密钥对混沌初值和参数的调 制作用( 相乘) ，增加了算法对明文和密钥的敏感 性，可以抵抗差分攻击［12］和已知明文攻击; 同时增 大了密钥空间，使破译者的穷尽搜索攻击变得更加 困难． 算法设计的混沌迭代次数是对明文分组和密 钥之和作模 256 运算，这种设计使混沌迭代次数可 以根据分组和密钥的不同来动态的选取． 混沌密码分析方法主要是根据所截获信号的混 沌动力学行为来重构相空间，得出混沌映射的数学 表达式，再通过分析大量的明文--密文对获得加密 算法，甚至破译出整个明文或密钥． 交替迭代 logis￾tic 映射和扩展帐篷映射生成随机序列的方法，增强 了算法的扩散效果，能有效避免单混沌系统由于信 号的泄露而导致的相空间重构攻击． 交替迭代式 ( 2) 和式( 3) 生成的序列对初值有很好的敏感性，如 图 3 所示，横坐标表示迭代次数，纵坐标表示生成序 列的取值范围( 0，1) ，在依次迭代 200 ～ 400 次，初 值为 x0 = 0. 566 358 和 y0 = 0. 566 359 时，序列的分 布差别很大． 交替迭代后耦合映像格子生成的序列( 类似于 图 1) 具有很好的密码学特性，比单混沌的生成序列 具有更好的随机性和相关性［10］; 序列的线性复杂度 高，初始值 x0 = 0. 566 358 在图 1 的参数控制下演 化，取长度为 256 bit 的生成序列，按照 Berlekamp￾Massey 算法计算［13］的线性复杂度为 127，十分逼近 于理想值 256 /2 = 128，说明生成的序列有理想的线 性复杂度，具备很好的抵抗线性攻击的能力; 易于批 量的生产，非常适合于图像加密领域． 基于以上因素，本文采用交替迭代混沌系统的 方法，在辅助密钥的控制下扰乱像素值，并对像素位 置置乱进行加密． 图 3 不同初值下交替迭代序列的分布图 Fig． 3 Distribution of a sequence generated by an alternating iterative chaotic system under different original conditions 2. 2 加密算法描述 设 P 表示大小为 N × N 的灰度图像( N 为图像 的像素行数和列数) ，加( 解) 密密钥 K = { k1，k2，…， k32 } 为 256 bit，ki 代表 K 的第 i 个字节． 加密步骤如 下( 如图 2) ． ( 1) 明文图像的分组． 明文图像的像素值 P( i， j) 按行的顺序从上到下、从左到右首尾相接变换成 序列，以 32 个明文像素点( 256 bit) 为一个明文像素 分组，最后一组不足 256 bit 的用 0 补齐，记为 P = p1，p2，…，pi，…，pr( i = 1，2，…，r) ，pi 表示明文的第 i 个分组． P( i，j) 表示矩阵的第 i 行第 j 列位置的像 素值． ( 2) 设定初值和参数． 设定 logistic 映射的初值 x0 和参数值 μ，耦合扩展帐篷映射参数 α、β 及 ε． ( 3) 生成辅助密钥． 辅助密钥由下式生成，它与 明文像素分组和密钥都有关联，其中辅助密钥 δ∈ ( 0，1) ． δ = 1 { [ 256 N × N × ( ∑ N i = 1 ∑ N j = 1 P( i，j) + ∑ 32 i = 1 ki ) ] mod 256 } ，i，j∈［1，N］． ( 4) 在本算法中，辅助密钥用于调控混沌系统的初值和 参数，用 δ 分别乘以 x0、μ、α、β 和 ε 产生新的系统初 值 x' 0 和参数 μ'、α'、β'和 ε'． ( 4) 交替迭代混沌系统． x' 0 和 μ'作为初值和参 数，交替迭代 logistic 和扩展帐篷映射，即把式( 2) 的 输出作为式( 3) 的输入，再将式( 3) 的输出作为式 ( 2) 的输入，如此反复迭代 1 000 + r + D 次，从得到 的式( 3) 的输出序列中取后 r 个状态值，作为耦合映 像格子的驱动序列． 其中迭代的前 1 000 次为预迭 代，以增强混沌序列对初值的敏感性． 迭代次数 D 依赖于明文分组和密钥，用如下方法产生: ·466·

第4期 徐刚等：基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 ·467 4 D-(AAPi1+A4)小m256 像素的Lena灰度图像进行算法仿真实验，算法的密 (5) 钥集为{K,xo,a,B,E,δ，D},实验取加（解）密密 (5)驱动混沌映像格子.耦合映像格子模型在 钥K=chaoticimageencryptionalgorithms'(32个字符 步骤(4)中生成序列的驱动下，每个映像格子演变 长)，取x。=0.566358、4=3.816326、a=0.5、B= N次产生一个混沌序列（共r个序列），从各序列取 0.1和e=0.05.实验结果如图4所示.其中图4 32个状态值用于明文像素分组加密.状态值选取 (a)为明文图像及其直方图；图4(b)为加密图像及 的规则为：映像格子数为奇数的序列取前32个状态 其直方图：图4(c)为使用相同密钥对图4(b)进行 值，格子数为偶数的序列取后32个状态值.记耦合 解密得到的图像：图4(d)为密钥集中x。=0.566358 映像格子的第j个映像格子(=1,2，…，L）所取的 与x。=0.566359而其他密钥不变时得到的两加密 32个状态值为{名，，，2}，映像格子数即为明文 图像的差图，可见密钥的微小改变导致了加密图像 像素分组个数(L=),映像格子的演变次数N,= 效果很大的不同，表明本算法对密钥有较强的敏感 1000+D 性；图4(e)为改变明文图像中一个点P(1,8)使其 (6)移位运算.首先将32个状态值转换为十进 灰度值从132变到133（相当于明文分组改变1 制表示，方法是各状态值作运算P=L|以1×256」， bi),其他条件不变得到的两个加密图像的差图，可 其中t=1,2,…,32,L·表示向下取整；然后生成的 见明文分组仅1bit的改变就导致了加密效果完全 32个整数值依次排列为{P,P,…,P2},并转化为 不同，表明本算法对明文图像也具有较强的敏感性 二进制表示P,形成一个256bit的序列.加密运 算为 4密码分析 C,=(P>>>)©P (6) 4.1密钥空间 式中，④为异或运算，C,为第j个映像格子加密后的 密钥空间的大小直接决定了密码系统的安全 密文分组.由于分组的长度为256bt,故循环左移 性.密钥均采用双精度型数据，主密钥K取256bit, 的位数作模255运算.V按如下规则产生： 辅助密钥和迭代次数的空间都是255：混沌系统的 V=(∑4)mwd25. 2 (7) 初值和参数计算精度为105或106：忽略其他参数 的取值范围，则算法的密钥空间将达到226×2552× (7)生成密文矩阵.r个明文分组分别加密，得 10”≈10160.如此大的密钥空间足以抵抗对密钥的 到的密文{C1,C2,…,C,}用Matlab矩阵成型函数 穷举攻击. reshape()转换为密文矩阵C. 4.2密文熵分析 (8)置乱图像像素位置.密文矩阵C用Arnold Shannon提出了信息熵的概念来表征信源的不 映射按照如下方法进行像素位置置乱，Arnold映射 定度，是信息系统有序化程度的一个度量.对于信 在本算法中采用如下形式： 息源M,其信息熵定义为 mod N. (8) H(M)=- ,p(m:)Ib(p(m:) (9) 式中，映射的输入和输出均为整数对.对于N×N 式中，p(m)为符号m,在M中出现的概率，符号m 的图像，像素位置置乱的方法是：首先建立一个与原 的个数为2”.当信源概率分布为等概率分布时，信 矩阵C等大的输出空间，然后将此空间中的每个像 息熵能取到最大值，这就是最大信息熵原理.同样 素坐标(i,j)作为初始值(x。,y)依次代入式(8)，通 可以用密文图像的信息熵来度量密文的平均不确定 过混沌迭代产生新的坐标记为(x,y1),并将输入空 性的程度，即当密文的概率分布为等概率分布（均 间中的第(x,y,)个像素放置到输出空间的(x。,yo) 为1256)时，具有最大信息熵为山(256)=8bit.图 位置中，即(i,)位置，直到整个输出空间填满即为 像加密中对于加密后完全随机的密文图像，其像素 最终的密文 灰度值的熵也应该是8bit.本算法得到的加密图像 由于本文采用的是对称密码算法，在已知密钥 (图4(b))每个像素m:的熵为 的前提下图像的解密过程是加密的逆过程 26 H=- 3仿真实验 pm）bpm）=7976=8 密文熵的值接近于理想值8，说明加密后图像 本文在Matlab7.0环境下对分辨率为256×256 具有较强的平均不确定性，对于统计攻击和熵攻击

第 4 期 徐 刚等: 基于交替迭代混沌系统的图像加密算法 D = ( ∑ N i = 1 ∑ N j = 1 P( i，j) + ∑ 32 i = 1 ki ) mod 256． ( 5) ( 5) 驱动混沌映像格子． 耦合映像格子模型在 步骤( 4) 中生成序列的驱动下，每个映像格子演变 N1 次产生一个混沌序列( 共 r 个序列) ，从各序列取 32 个状态值用于明文像素分组加密． 状态值选取 的规则为: 映像格子数为奇数的序列取前 32 个状态 值，格子数为偶数的序列取后 32 个状态值． 记耦合 映像格子的第 j 个映像格子( j = 1，2，…，L) 所取的 32 个状态值为{ z j 1，z j 2，…，z j 32 } ，映像格子数即为明文 像素分组个数( L = r) ，映像格子的演变次数 N1 = 1 000 + D． ( 6) 移位运算． 首先将 32 个状态值转换为十进 制表示，方法是各状态值作运算 Pj t = ? | z j t | × 256」， 其中 t = 1，2，…，32，?·」表示向下取整; 然后生成的 32 个整数值依次排列为{ Pj 1，Pj 2，…，Pj 32 } ，并转化为 二进制表示Pj ，形成一个 256 bit 的序列． 加密运 算为 Cj = ( Pj ＞ ＞ ＞ V) Pj ． ( 6) 式中，为异或运算，Cj 为第 j 个映像格子加密后的 密文分组． 由于分组的长度为 256 bit，故循环左移 的位数作模 255 运算． V 按如下规则产生: V = ( ∑ 32 i = 1 ki ) mod255． ( 7) ( 7) 生成密文矩阵． r 个明文分组分别加密，得 到的密文{ C1，C2，…，Cr } 用 Matlab 矩阵成型函数 reshape( ) 转换为密文矩阵 C． ( 8) 置乱图像像素位置． 密文矩阵 C 用 Arnold 映射按照如下方法进行像素位置置乱，Arnold 映射 在本算法中采用如下形式: xn + 1 yn ( ) + 1 = 1 1 ( ) 1 2 xn ( ) yn mod N． ( 8) 式中，映射的输入和输出均为整数对． 对于 N × N 的图像，像素位置置乱的方法是: 首先建立—个与原 矩阵 C 等大的输出空间，然后将此空间中的每个像 素坐标( i，j) 作为初始值( x0，y0 ) 依次代入式( 8) ，通 过混沌迭代产生新的坐标记为( x1，y1 ) ，并将输入空 间中的第( x1，y1 ) 个像素放置到输出空间的( x0，y0 ) 位置中，即( i，j) 位置，直到整个输出空间填满即为 最终的密文． 由于本文采用的是对称密码算法，在已知密钥 的前提下图像的解密过程是加密的逆过程． 3 仿真实验 本文在 Matlab7. 0 环境下对分辨率为 256 × 256 像素的 Lena 灰度图像进行算法仿真实验，算法的密 钥集为{ K，x0，μ，α，β，ε，δ，D} ，实验取加( 解) 密密 钥 K =‘chaoticimageencryptionalgorithms’( 32 个字符 长) ，取 x0 = 0. 566 358、μ = 3. 816 326、α = 0. 5、β = 0. 1 和 ε = 0. 05． 实验结果如图 4 所示． 其中图 4 ( a) 为明文图像及其直方图; 图 4( b) 为加密图像及 其直方图; 图 4( c) 为使用相同密钥对图 4( b) 进行 解密得到的图像; 图 4( d) 为密钥集中 x0 = 0. 566358 与 x0 = 0. 566 359 而其他密钥不变时得到的两加密 图像的差图，可见密钥的微小改变导致了加密图像 效果很大的不同，表明本算法对密钥有较强的敏感 性; 图 4( e) 为改变明文图像中一个点 P( 1，8) 使其 灰度值从 132 变 到 133 ( 相当于明文分组改变 1 bit) ，其他条件不变得到的两个加密图像的差图，可 见明文分组仅 1 bit 的改变就导致了加密效果完全 不同，表明本算法对明文图像也具有较强的敏感性． 4 密码分析 4. 1 密钥空间 密钥空间的大小直接决定了密码系统的安全 性． 密钥均采用双精度型数据，主密钥 K 取 256 bit， 辅助密钥和迭代次数的空间都是 255; 混沌系统的 初值和参数计算精度为 1015 或 1016 ; 忽略其他参数 的取值范围，则算法的密钥空间将达到 2256 × 2552 × 1079 ≈10160 ． 如此大的密钥空间足以抵抗对密钥的 穷举攻击． 4. 2 密文熵分析 Shannon 提出了信息熵的概念来表征信源的不 定度，是信息系统有序化程度的一个度量． 对于信 息源 M，其信息熵定义为 H( M) = － ∑ n i = 1 p( mi ) lb( p( mi ) ) ． ( 9) 式中，p( mi ) 为符号 mi 在 M 中出现的概率，符号 mi 的个数为 2n ． 当信源概率分布为等概率分布时，信 息熵能取到最大值，这就是最大信息熵原理． 同样 可以用密文图像的信息熵来度量密文的平均不确定 性的程度，即当密文的概率分布为等概率分布( 均 为 1 /256) 时，具有最大信息熵为 lb( 256) = 8 bit． 图 像加密中对于加密后完全随机的密文图像，其像素 灰度值的熵也应该是 8 bit． 本算法得到的加密图像 ( 图 4( b) ) 每个像素 mi 的熵为 H = － ∑ 256 i = 1 p( mi ) lb( p( mi ) ) = 7. 997 6≈8． 密文熵的值接近于理想值 8，说明加密后图像 具有较强的平均不确定性，对于统计攻击和熵攻击 ·467·

·468· 北京科技大学学报 第34卷 700 600 警 100 50100150200250 图像的灰度值 (a) 600 500 300 200 100 0 0 50 100150200250 图像的灰度值 ⊙ ⊙ 图4图像的加（解）密及直方图.(a)明文图像及其直方图：(b)密文图像及其直方图：(c)解密图像：()密钥微小改变的加密图像差 图：()明文微小改变的加密图像差图 Fig.4 Image encryption/deeryption and histograms:(a)original image and its histogram:(b)cipher-image and its histogram:(c)decrypted im- age:(d)difference image between the two cipher-images with slightly different keys:(e)difference image between the two cipher-images with slightly different original images 有较强的抵抗能力 4.3差分攻击 Q=G(0≠G,G,, 「l0C,(i,)=C2(i,j) 差分攻击的基本思想是通过分析明文对的差值 用yuAC来度量像素的平均改变强度，定义如下： 对密文对的差值的影响，来恢复某些密钥比特.如 果对明文图像的微小改变会导致加密图像很大的变 m[ΣΣGnsS]x10 255 化，差分攻击方法就是无用的.描述一个像素的改 (11) 变对密文的影响通常用如下两种方法：像素数目的 对于两个完全随机的图像，NPCR和UACI的理论 改变率NPCR和归一化平均改变强度UACI围 值0分别为99.60937%和33.46354%.本文中yR= 对于一幅大小为N×N的图像，C,(i,)和C2 99.6087%和yuA0=33.4710%,非常接近其理论值，说 (i,j)分别为改变明文图像P(i,j)的一个像素值而 明加密方案对明文图像的微小改变非常敏感，故文中 得到的两个加密图像，用yxcR度量两个图像间像素 提出的算法具有良好的抵抗差分攻击的能力. 的变化率，定义为 4.4算法统计特性分析 ∑∑Q(i,》 4.4.1相邻像素的相关性 -×100%, (10) Nx N 图像相邻像素的相关性很大，密文图像要尽可

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 图 4 图像的加( 解) 密及直方图 . ( a) 明文图像及其直方图; ( b) 密文图像及其直方图; ( c) 解密图像; ( d) 密钥微小改变的加密图像差 图; ( e) 明文微小改变的加密图像差图 Fig． 4 Image encryption /decryption and histograms: ( a) original image and its histogram; ( b) cipher-image and its histogram; ( c) decrypted im￾age; ( d) difference image between the two cipher-images with slightly different keys; ( e) difference image between the two cipher-images with slightly different original images 有较强的抵抗能力． 4. 3 差分攻击 差分攻击的基本思想是通过分析明文对的差值 对密文对的差值的影响，来恢复某些密钥比特． 如 果对明文图像的微小改变会导致加密图像很大的变 化，差分攻击方法就是无用的． 描述一个像素的改 变对密文的影响通常用如下两种方法: 像素数目的 改变率 NPCR 和归一化平均改变强度 UACI ［3］． 对于一幅大小为 N × N 的图像，C1 ( i，j) 和 C2 ( i，j) 分别为改变明文图像 P( i，j) 的一个像素值而 得到的两个加密图像，用 γNPCR度量两个图像间像素 的变化率，定义为 γNPCR = ∑i ∑ j Q( i，j) N × N × 100% ， ( 10) Q( i，j) = 1 C1 ( i，j) ≠C2 ( i，j) ， 0 C1 ( i，j) = C2 { ( i，j) . 用 γUACI来度量像素的平均改变强度，定义如下: γUACI = 1 N × [ N ∑i ∑ j |C1 ( i，j) － C2 ( i，j) | ] 255 ×100%． ( 11) 对于两个完全随机的图像，NPCR 和 UACI 的理论 值［1］分别为99. 60937%和33. 46354%． 本文中 γNPCR = 99. 6087% 和 γUACI =33. 4710%，非常接近其理论值，说 明加密方案对明文图像的微小改变非常敏感，故文中 提出的算法具有良好的抵抗差分攻击的能力． 4. 4 算法统计特性分析 4. 4. 1 相邻像素的相关性 图像相邻像素的相关性很大，密文图像要尽可 ·468·