线性常系数x(t)=ax+by 微分方程组j(t)=cx+d 的平衡点及其稳定性 ax+by=0 平衡点Px02y0)=(0,0)~代数方程 的根 cx+dy=0 若从P邻域的任一初值出发,都有imx(t)=x, imy()=y,称P是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵A 特征方程det(4-A)=0 2+p2+q=0 特征根 p=-(a+d) =(-ptVp2-4q)/2 q=det A 线性常系数x(口)=ax+by 微分方程组j1)= 的平衡点及其稳定性 cr+ 平衡点P0)特征根2=(-p+Vp2-4)/2 微分方程一般解形式ce+ce4 λ12为负数或有负实部 p>0且q>0口平衡点O0稳定 p<0或q<0口平衡点P2.0)不稳定
( W of W of )* )* W W O O
建模 +ky+g (*) y (t)=lx- By+ h 平衡点 kh+ Bg lg+ah B-kI B 稳定性判断 系数 -)=a+B>0 矩阵 q=detA=af-kl 平衡点(x)稳定的条件P>0,q>0 日oB>l x(t=-ax+ky +g 模型的定性解释 y(t=lx +h(*) 平衡点x kh+Bg B-kl y B-kl 双方军备稳定时间充分a,B~本方经济实力的制约 长后趋向有限值)的条件k,~对方军备的刺激 B>k(+)g,h~军备竞赛的潜力 1)双方经济制约大于双方军备刺激时,军备竞赛 才会稳定,否则军备将无限扩张 若g=h=0,则x=y=0,在条件(+)下x()=y()=0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平
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x(t=-ax+ ky+g 模型的定性解释 ()=k-2+b( a,~本方经济实力的制约 k,~对方军备的刺激; g,h~军备竞赛的潜力 3)若g,h不为零,即便双方一时和解,使某时x()yv 很小,但因x>0,j>0,也会重整军备 4)即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x()=0, 也会因x=小+g使该方重整军备,即存在互不信 任(k≠0或固有争端(g≠0的单方裁军不会持久 §3种群的相互竞争 个自然环境中有两个种群生存,它们之间 的关系:相互竞争;相互依存;弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间 相互竞争时,常见的结局是,竞争力弱的灭绝, 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建模描述两个种群相互竞争的过程,分析产 生这种结局的条件
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