3、证明: (1)若f为凸函数,λ为非负实数,则Af为凸函数 (2)若f,g均为凸函数,则f+g为凸函数 (3)若f为区间I上凸函数,g为J=f(1)上凸增函数,则g·f为I上凸函数 4、设f为区间I上严格凸函数。证明:若x0∈为f的极小值点,则x为f在I上唯 的极小值点。 5、应用凸函数概念证明如下不等式 (1)对任意实数a,b,有e2≤ (2)对任何非负实数a,b,有2acap/+ barcan a+ arctan b 6、证明:若f,g均为区间I上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸 函数 7、证明:(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点x1<x2<x3,恒有 f(x, f(x2)20 (2)f为严格凸函数的充要条件是△>0 8、应用詹森不等式证明: (1)设a1>O(=1,2,…,n),有 ≤va1a2…a.<a1+a2+…+an (2)设a1,b,>0(=1,2,…,n),有 b 其中p>0>Q+1 §6函数图象的讨论 按函数作图步骤,作下列函数图象 (1)y=x3+6x2-15x-2 2(1+x) (3) (4) 6
6 3、证明： （1）若 f 为凸函数， 为非负实数，则 f 为凸函数； （2）若 f，g 均为凸函数，则 f+g 为凸函数； （3）若 f 为区间 I 上凸函数，g 为 J f（I）上凸增函数，则 g·f 为 I 上凸函数。 4、设 f 为区间 I 上严格凸函数。证明：若 0 x I 为 f 的极小值点，则 0 x 为 f 在 I 上唯 一的极小值点。 5、应用凸函数概念证明如下不等式： （1）对任意实数 a，b，有 ( ) 2 1 2 a b a b e e + e + ； （2）对任何非负实数 a，b，有 a b a b arctan arctan 2 2arctan + + 。 6、证明：若 f，g 均为区间 I 上凸函数，则 F（x）= max{f（x），g（x）}也是 I 上凸 函数。 7、证明：（1）f 为区间 I 上凸函数的充要条件是对 I 上任意三点 1 2 3 x x x ，恒有 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3 2 2 1 1 = x f x x f x x f x ； （2）f 为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明： （1）设 a 0(i 1,2, ,n) i = ，有 n a a a a a a a a a n n n n n + + + + + + 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ； （2）设 a ,b 0(i 1,2, ,n) i i = ，有 q n i q i p n i p i n i aibi a b 1 1 1 1 1 = = = ， 其中 1 1 1 0, 0, + = p q p q 。 §6 函数图象的讨论 按函数作图步骤，作下列函数图象： （1）y = 6 15 20 3 2 x + x − x − ； （2）y = 2 2 2(1 x) x + ； （3）y = x – 2arctanx； （4）y = x xe − ；
(5)y=3x3-5x3 (6)y=a-x2 (7)y=(x-1) (8)y=|x|13(x-2) 总练习题 证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且lnf(x)=limf(x),则至少 存在一点ξ∈(a,b),使∫"()=0。 2、证明:若x>0,则 其中≤O(x)≤ 2√x+O(x) (2)lim6(x)=,lim6(x)=。 3、设函数f在[a,b上连续,在(a,b)内可导,且a·b>0。证明存在∈(a,b), 使得 b =f(2)-5(5)。 bf(a)f(b) 4、设f在[a,b上三阶可导,证明存在∈(a,b),使得 (b)=f(a)+(b-af(a)+f(b)-(b-a)3f"()。 5、对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理,试证:对x≥0有 0<1-1<1 In(1+x)x 6、设a12a2,…,an为n个正数,且 f(x)=a12+a2+…+0y 证明:(1)lmf( 1a2…an (2)imf(x)=max{a1,a2,…,an}。 求下列极限 (1)lm(1-x2)m= (2)lm
7 （5）y = 5 3 3x − 5x ； （6）y = 2 x e − ； （7）y = 3 2 (x −1)x ； （8）y = 3 2 2 | x | (x − 2) 。 总练习题 1、证明：若 f（x）在有限开区间（a，b）内可导，且 lim f (x) lim f (x) x a x b → + → − = ，则至少 存在一点 (a,b) ，使 f ( ) = 0 。 2、证明：若 x>0，则 （1） 2 ( ) 1 1 x x x x + + − = ，其中 2 1 ( ) 4 1 x ； （2） 2 1 , lim ( ) 4 1 lim ( ) 0 = = → →+ x x x x 。 3、设函数 f 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 a·b>0。证明存在 (a,b)， 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f f f a f b a b a b = − − 。 4、设 f 在[a，b]上三阶可导，证明存在 (a,b) ，使得 ( ) ( ) 12 1 ( )[ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) 3 f b = f a + b − a f a + f b − b − a f 。 5、对 f（x）=ln（1+x）应用拉格朗日中值定理，试证：对 x≥0 有 1 1 ln(1 ) 1 0 − + x x 。 6、设 a a an , , , 1 2 为 n 个正数，且 f（x）= x x n x x n a a a 1 1 2 + ++ 。 证明：（1） n n x f x a1a2a 0 lim ( ) = → ； （2） lim ( ) max{ , , , } 1 2 n x f x = a a a → 。 7、求下列极限： （1） 2 1/ ln(1 ) 1 lim (1 ) x x x − → − − ； （2） 2 0 ln(1 ) lim x xe x x x − + → ；