图2.4在一定高度和厚度的箱中粒子的势能。 箱外找到它。这个现象叫做坠道效应。《粒子从放射性核逸出包 含坠道效应。 2.3一维自由粒子 一个自由粒子意味着不受任何的力。对于一个自由粒子，不 管x的值是什么，势能保持一定。因为能级零点的选取是任意的， 我们可令V(x)=0。薛定谔方程(1.16)变为 2+罂=0 (2.29) 方程(2.29)与方程(2.10)一样（除了边界条件以外）；所以(2.29) 的通解是(2.13)： 中=C1ei(2nB)/Pz/我十c2e-i2mB/r/h (2.30) 可能加上什么边界条件？好象假设（由于中*中dx表示几率） 当x趋于士∞时中将保持有限是合理的。若卫小于零，那么这个 边界条件将被破坏，因为<0有 i(2mE)12=i(-2m{E{)112=含i.(2mE1)1/2 =-(2mB})1/2 于是(2.30)中的第一项将在x趋于负无穷大时变为无穷大。同样 地，若卫是负值，(2.30)中的第二项将在x趋于正无穷大时变为无 穷大。这样，对于自由粒子，边界条件要求 E≥0 (2.31) 波函数是振荡的并且是正弦与余弦项的线性组合[(2.16)式]。对 ·28·
自由粒子，得不到能量的量子化；所有非负能量都是允许的。因为 我们取7=0，所以此情况下能量E都是动能。如果试图用归一化 计算任意常数c1和c2,我们将发现积分*(x)(x)x发散，换 言之，自由粒子在通常意义下是不归一化的。这在物理根据上是预 料到的，因为没有理由认为自由粒子在x趋于士©时找到它的几 率趋于零。 自由粒子问题代表一非真实情景，因为不可能真正有一个粒 子在宇宙中不与任何其他粒子相互作用。 习 题 2.1解y(x)+y'(x)-2y(x)=0。 2.2(a)对于辅助方程有相同根的情况，81=82=8，我们曾只求得二阶 线性齐次微分方程的一个独立解：e“。验证此情况下xe:是第二个解。(b) 解y(x)-2g'(x)+y(x)=0。 √2.3考虑一宏观物体质量为1.0克，以速率1.0厘米/秒在长度1.0厘 米的一维箱中运动；求量子数。 √2.4考虑一量子数为n在长l的一维箱中运动的粒子。(a)求在箱的 左端1/4区找到粒子的几率。(b)”为何值时此几率最大？（©）当n→∞时此 几率的极限为何？(d)(c)中说明了什么原理？ 2.5作为一个非常粗糙的图象，把一个电子在原子或分子中看做是一 个粒子在一维箱中，其长度是原子或分子的尺度。()对于一个电子在长 1.0A的箱中，计算两个最低能级之差，以尔格和电子伏表之。(b)计算对应 于此两能级之间跃迁的光子的波长。()此波长在电磁波谱的哪一部分？ 2.6写出自由粒子具有能量E的与时间有关的波函数。 2.7对于在长1的一维箱中的粒子，我们可将坐标原点放在箱的中点。 求如此选择原点时的波函数和能级。 2.8画出箱中粒子在"=4和%=5的态时中与2的草图。 2.9包含三角函数的积分的求值常利用习题1.11的恒等式。对箱中 粒子的波函数，用正弦函数的复指数形式验证(2.27式。 宁世光译 29·
第三章算 符 3.1算符 我们现在以较前更普遍的形式来阐述量子力学理论。开始把 一个粒子不含时间的一维薛定谔方程(1.16)写成下式 [-然器+e)]pe)=8a (3.1) (3.1)的方括号里的整体是一个算符。方程(3.1)提出有一个能量 算符，它作用于波函数，得到的是原波函数乘以允许的能量值。所 以我们来讨论算符。 一个算符简单地说是一种规则，用它，我们能够从给出的某个 函数求出另外的对应的函数。例如，令D是将一个函数对x微分 的算符。（用抑扬符表示一算符。）若f(x)可微，用方作用于f(x), 得到的结果是：Df(x)='(x)。例如(x2+3e)=2ac+3e。若 3是将一函数乘以3的算符，则3(x2+3e)=3x2+9e。若SQRT 是取一函数的平方根的算符，则SQRT(x2+3e*)=(x2+3e)12。 用下列等式定义两个算符A与B之和 (AB)f(a)=Af(a)+Bf(a) (3.2) 例如 (D+3)(x2+3e)=(2x+3e*)+(32+9e) =2x十3x2+12e￥ 用下列等式定义两个算符A与B之积。 ABf(2)=A[Bf(x)] (3.3) 换言之，先用算符积右边的算符作用于f(),然后用算符积左边 ·30·
的算符作用于所得的函数。例如， 3f(x)=3[Df(x)]=3'(x)=3f'(x) (3.4) 对于此例，不管先用哪个算符，最后结果并无不同。一般地说，不 能认为AB与A有同样的作用。例如，考虑算符d/dc与： Df)-[f(1=f()+f'()=(i+0f）(3.5) 0时e=]=f(a） 所以这里A第与BA是不同的算符。 我们可将算符代数阐述如下。若A与月是两个算符，且对于 所有函数f,A∫=Bf,就说A与8相等：A=B。例如，(3.5)表明 晚=+0 (3.6) 算符1（乘以1）是单位算符。算符0（乘以零）是零算符。对于只 单纯是作常数乘法的算符，我们常省去算符上的抑扬符。可以把算 符从算符等式之一端移至另一端（习题3.28)，于是(3.6)相当于 e-D-1=0 式中省去了零算符和单位算符上的抑扬符。 算符服从乘法结合律： A(BC)=(AB)C (3.7) (3.7)的证明在习题3.2中列出。作为一例，令A=d/d红，=元， C=3。用(3.6)，有 (AB).发晚=1+D,[(AB)C]f=(1+D)3f=3f+3xf )3.[A(B)f-D(Baf)- 算符代数与一般代数之主要不同是数服从乘法交换建，而算 符不一定如此。若a与b是数，则ab=ba。但A8与BA不一定 是相同的算符。定义算符A与B的对易子[A,们为算符AB-BA: .31·
[A,B们=AB-BA (3.8) 若AB=BA,我们就说A与B是可对易的。由于不论按什么顺序 运用算符3和d/dx结果并无不同，有 d 3d-03=0 dxdx 但从(3.6)式，则有 [品=i-0-1 (3.9) 算符的平方定义为算符与其自身的积： A2=AA。让我们来求微分算符的平方： f(x)=D(f)=f'=f” i2= dx2 (3.10) 作为另一例，使一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符，因 为取两次复共轭给出原函数。一个算符的n次幂(n=1,2,3,…) 定义为连续运用算符n次。 实际情况是量子力学中遇到的算符都是线性的。只有当A具 有下列两个性质时才是线性算符： A[f(x)+g(x)]=Af(a)+Ag(a) (3.11) Acf(x)门=cAf(a) (3.12) 式中f和g为任意函数，c为任意常数。线性算符之例有：，d/dx 和d2/dx2。平方根算符SQRT是非线性的。 (2.3)式定义了线性微分方程的形式。用微分算符D可将 (2.3)重写为 [An(x)m+An-1(x)dm-1+…+Ao(x)](x)=g(x)(3.13) (3.13)中方括号里的算符是线性的。 ·320