8=士言(2m)1/2/抗 (2.12) 用(2.8)，有 的重=C1g(2mP//4C2e-i2mE'/rx/ (2.13) 暂令 0=(2mE)12x/i (2.14) 1 x=cjeie+c2e-ie (2.15) 用(1.22)，有 ψr=c1cos0+ic1sin日+c2cos0-ic23in0 =(C1+C2)cos0+(ic1-ic2)sin0 式中1和B见新筋任套常数鲜餐圣戏】 =Acos日+Bsin0 Vr=Acos [h-1(2mE)1/2x]+Bsin [h-1(2mE)1/2x](2.16) 现在我们运用边界条件确定A和B。看来假设波函数是连续 的是合理的，亦即，它的值将不突跃。若中在点它=0连续，则虹和 红在x=0处必趋于同一值： 1im红=1i妙红 r40 ◆0 0=lim{Acos [-(2mE)1/2x]+Bsin [-1(2mE)1/2a3} 文0 0=A 我们已经求出了一个任意常数的值，而现在有 Bsin [(2n/h)(2mE)/2] (2.17) 运用在x=飞处的连续条件，得 Bsin[(2m/h)(2mE)1/2U]=0 (2.18) B不能为零，因为这将使被函数处处为零一我们将有一个空箱。 所以 sin[(2r/h)(2mB)1/2l]-0 在0，士π，士2x,士3π，…时，正弦函数为零，于是 ·23
(2r/h)(2mE)12L=士nr (2.19) 然而，必须弃去？为零的值，因为它将使 (2元/h)(2m)1/2=0 而由(2.17)式，这将使波函数为零。所以 (4π2/h2)(2mE)12=n2x2 E=n22 8m2,%=1,2,3,… (2.20) 只有(2.20)的能量值使中满足在=1处连续的边界条件。运 用一个边界条件，使我们断定能量的值是量子化的。这与经典的 结果显然是相反的，经典的结果是粒子在箱中可有任何非负能量。 并且注意，粒子的能量有一大于零的极小值。将(2.19)代人 (2.17),给出波函数 中n=Bsin =1,2,3,… (2.21) [nπ前用负号不给出别的独立解。因为sin(一)=一sin0,只单 纯地得一常数一1去乘带有正号的解。] (2.21)式中的常数B仍是任意的。要确定其值，用归一化要 求(1.20)式 ,1Ψ1He=1ae=1 vda+lvax+a=1 1sin(0）=1=12号 利用下列关系求式中的积分 2sin2t=1一cos2t (2.22) 得到 ·24-
1-() 注意只确定了B的绝对值。B可为一√2I或+√2I。而且，B不 必须是一实数—一我们可以用任何有绝对值√2的复数，即完全 可以说B=(2/l)2e,其中a是B的相。（见1.6节。）选其相为 零，最后写出 =-()sin(）, n=1,2,3, (2.23) 波函数和几率密度的图示于图2.2和2.3。 二心 图2.2箱中粒子的三个最低能态的功的图形 ialanl had 图2.3箱中粒子的几个最低态的中2的图形。 注意有些点波函数为零（叫做结点）。%的值每增加1(2叫做 量子数)，多找到一个结点。中和引12存在结点似乎令人奇怪。对 于飞=2，图2.3指出，在箱中点x=12处找到粒子的几率为零。 粒子怎么能从箱的这一半边到另一半边而无任何时间出现在中点 呢？这个貌似的怪事来自于试图用我们日常习惯的宏观粒子的运 动去理解微观粒子的运动。'然而，如第一章所述，电子及其他微观 “粒子”不能充分地和正确地用宏观世界得到的经典物理概念的术 语来描述。 图2.3表明在箱中的不同地方找到粒子的几率与经典结果很 。25
不相同。从经典上说，有固定能量的粒子在箱中两壁之间弹性地 往来，以恒定的速率运动。所以在箱中任一点找到它的可能性龙 同等。从量子力学来说，最低能级在箱的中点有最大的几率。趋 处于有更多结点的高能级时，极大与极小几率越来越靠近，沿着 长度的几率的变化到最终变得察觉不出来了。量子数大时，趋于 几率密度均匀的经典结果。这样的结果，即在大量子数的极 况下从量子力学过渡到经典力学，通称为玻尔对应原理。)因为牛 顿力学对于宏观物体（以比光速小得多的速率运动时）是正确的， 所以我们预期对于宏观物体非相对论量子力学给出与经典力学同 样的回答。因为普朗克常数特别小，所以宏观物体的能量量子化 观察不到。由于粒子的质量以及箱长度的平方出现于(2.20)式的 分母中，一个宏观物体在一宏观箱中有一宏观的运动能量就要有 一个巨大的%值，于是按对应原理，将有经典的行为。 我们有一整套波函数，每一个对应于一个不同的能值，并用量 子数”表征之，n为从1起的整数。令下标i表示一特定的被函 数其量子数为n: :=()》 sin( 0<x<l 功：=0 其他区域 因为波函数是归一化的，有 时p,a=1若=j (2.24) 现在我们问当用对应于不同能级的波函数时此积分的值，即： ,a-g（)sin(（色）(2)sin(）,≠ny 令t= C时的dz=是∫)sin,tsin风ytd.子 。26
可利用下面的恒等式去计算积分 (2.25) 兴 sinn.t oin,5=分cos6m:-）t-2cos(a,+n）t 锦于是 时9a=奶 -cos (n;-nj)tdt 2】cos(m:+ng)tdt=0 元J02 而m为整数时sinm元=0。于是有 八时证=o, i+j (2.26) 我们说i+j时中：与与是相互正交的。可以把(2.24)与(2.26) 合并写为 时中=6 (2.27) 符号6：i叫做克罗内克delta(Kronecker delta,按一数学家而得 名)；它当两指标i与)相等时为1，当i与)不等时为零： a-8 对于i≠1 (2.28) 对于=) 在(2.27)中所说明的波函数的性质叫做正交归一性。我们只对箱 中粒子的波函数证明了正交归一性；以后将证明这是更普遍的。 一个更严格的方法来考察无限壁箱中的粒子，是首先把箱中 粒子的势能看成在壁上有一个有限的跳跃，然后取势能跃至无穷 大的极限。当取极限时，结果将与以前我们曾得到的结果一样。 另一有关的问题是在壁有一定高度以及一定厚度的一维箱中 的一粒子。势能作图如图2.4。从经典上说，图2.4箱中的粒子 不可能逸出箱子，除非其能量大于势垒V。的高度。然而量子力学 的结果（我们略去）指出，对总能小于V的粒子，有一定的几率在 1Kau3ma,p.195。 27·