在线性算符运算中有用的恒等式是 (+C=AC+B (3.14) A(B+C⊙=AB+Ad (3.15) 从算符的积与和的定义得出分配律(3.14)的证明；我们有 [(A+B )C]f(a)=(+B)(Cf)=A(Cf)+(Cf) =ACf+BCf=(AC+B)f 为得到算符运算的技巧，作d/dx+的平方。有 (D+)2f(x)=(D+)[(D+)f打=(D+)(f'+xf) =f”+f+xf'+xf'+x2j =(2+2D+2+1)f(x) (6+)2=2+2D-82+1 让我们只用算符等式来重复这一运算： (D:)2=(D-)(D+)=(6+)+元(D+) =2+D+D+=2+D+1十元D+ =2+2xD+x2+1 式中利用了(3.14)，(3.15)和(3.6)，“乘以x”的算符上的抑扬符 已省略。 虽然只考虑了一维x的算符和函数，但不难把我们所说的全 部推广到多维的算符和函数。 3.2本征函数与本征值 假设用算符A作用于某一函数(x)的效果只简单地为某一 常数飞乘以f(g)。那么，我们说f(x)是A的具有本征值飞的本 征函数。我们有' 1作为定义的一部分，要求(x)不恒等于零。这意味着虽然(x)可在个别点上 为零，但非处处为零。 尖碗，飞 33
Af(@)=kf(a) (3.16) [Eige是一德文单词，意为特征的。“Eigenvalue”(本征值)是一 个混合词；曾建议用“Characteristic wert'”(特征值)也同样是恰 当的。]作为(3.16)之例，e2x是算符d/dc的一个本征值为2的本 征函数： (d/da)e2x=2e2x 让我们来求d/d的所有的本征函数和本征值。这时方程 (3.16)变为： df(x)=kf(x） (3.17) dx df f=kdoo (3.18) 1n∫=kx+常数 f=e霜数ek红 f=cekx (3.19) (3.19)给出d/dx的本征函数。本征值是，它可以是任意数而仍 能满足(3.17)。本征函数含一任意相乘常数c。容易证明，这对 任何线性算符的本征函数是真实的：利用(3.12)和(3.16)，有 A(cf)=cAf=ckf=k(cf) (3.20) 所以，若f(x)是A的具有本征值k的一个本征函数，则cf(x)亦 是。在(3.19)中，对于每一个不同的飞值，得到一个不同的本征 函数；具有同一k值但不同c值的本征函数彼此不是独立的。最 后一点：假定我们加上当x趋向正或负无穷大时(3.17)的解保持 有限的边界条件。由于k可能为复数，所以可写成k=ā十b,其中 4和b是实数。于是有f()=ceer。若a为正，则当x趋于无 穷大时，ea“趋于无穷大；若a为负，则当x趋于负无穷大时，ea 趋于无穷大。因此，边界条件要求a=0,而有纯虚数的本征值， k=b。 、340
3.3算符与量子力学 现在考虑算符与量子力学的关系。比较(3.1)与(3.16)式，可 见薛定谔方程是一个本征值问题。能量E的值为本征值；本征函数 为波函数；欲求其本征函数与本征值的算符为一(2/2m)d2/dx 十V()。这个算符叫做体系的哈密顿算符。 哈密顿(W.R.Hami1ton,1805一1865)设计了不同于牛顿的 另一种形式的运动方程，它包括一个函数H,即体系的哈密顿函 数。对于一个势能只是坐标的函数的体系，总能量对时间保持常 数，即E是保守的。我们将限于这样的保守体系。对于保守体系， 经典力学的哈密顿函数实际情况是单纯用坐标和共轭动量来表示 总能量。对于笛卡儿坐标x,,名，共轭动量是线动量在，y和 之方向上的分量：Px,卫，和卫o 让我们考虑一个质量为m,做一维运动，并受到势能V(x)的 粒子，其经典力学的哈密顿函数是什么？哈密顿函数等于动能和 势能所组成的能量。通常形式的动能？m竖将不适用，因为必须 把哈密顿量表示为坐标和动量的函数，而不是表示为速度的函数。 由于vx=P/m,所要的动能形式是p经/2m。哈密顿函数是： H=+V() (3.21) 2m 不含时间的薛定谔方程(3.1)指出，对应于(3.21)的哈密顿函 数，有一个量子力学算符 壳2d2 2m da2+V(a) (3.22) 其本征值为体系能量的可能值。这种在经典力学的物理量与量子 九学的算符之间的对应性是普遍的。对每一物理量（例如，能量，x 坐标，动量)有一个对应的量子力学算符，这是量子力学的一个基 ·35*
本限设。我们进一步假设，对应于量F的算符是这样得到的：写出 下做为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经典力学表示，然后做如 下代换。每个笛卡儿坐标9代之以该坐标去乘的算符： g=4 (3.23) 线动量的每个笛卡儿分量卫，代之以算符 五，-营品=-号 (3.24) 在(3.24)中，i=√/一1，/2q是对于坐标q的偏导数算符。 考虑几个例子。对应于x坐标的算符是乘以： 元=x (3.25) 以及 9=y… (3.26) 之=名· (3.27) 线动量分量的算符是： ix (3.28) 对应于P经的算符，有 ≈一23 2 (3.29) ?与经也有类似表示。 现在考虑一维的势能和动能算符。假定有一体系其势能函数 V(x)=ax2,a是一常数。将x代之以x·,可见势能算符只是简单 地乘以aax2: f(x)=ac2· (3.30) 一般言之，对任意势能函数，有： (x)=V(x) (3.31) 动能T的经典力学表示为 T=p2/2m (3.32) ·36●
将卫x代之以对应的算符，有 介=、 i222d2 2mx2=1 (3.33) 2m dx2 式中利用了(3.29)，并将偏导数变为一维的寻常导数。经典力学 的哈密顿量(3.21)是 H✉T-V (3.34) 对应的量子力学哈密顿（或能量）算符是 i=分+0=一的 2m dx2+-V(x) (3.35) 与(3.22)-一致。注意所有这些算符都是线性的。 量子力学算符与体系对应的性质有怎样的关系呢？每个这样 的算符有其自己的一套本征函数和本征值。若p:是产的具有本 征值a:的本征函数，则我们有[(3.16)式] fo:=a;Pi (3.36) (下标表示有一整套可能的本征函数和本征值：i=1,2,3,…。)算 符户通常是微分算符，(3.36)是一微分方程，其解给出本征函数 和本征值。假设本征值：是体系的性质F仅有的可能值，亦即，性 质F的次测量必将得到：值之一。例如，体系能量仅有的可能 值是能量（哈密顿）算符庄的本征值。用中表示庄的本征函数，对 本征值方程(3.36)有： 户中：=E:中： (3.37) 利用哈密顿算符(3.35)，对一维一粒子体系得： [-票+W国]，=g, (3.38) 此即不含时间的薛定谔方程(3.1)。于是关于算符的假设与我 们以前的结果一致了。以后将对于选(3.24)为动量算符提供进一 步的论证，正应如此，在极限下过渡到经典力学时这种选择得出 p.=m(dx/d)。（见习题7.19。) 37