4π，等等；于是 1=ei2wk (1.30) 式中飞是任意整数，为零、负或正。现在考虑数⊙ ⊙=ei2rk/n (1.31) n为一正整数。用(1.31)*2次，可见o”=1,因此，0是1的一个 次根。1有%个不同的复数的%次根，逐次取整数飞的”个值则 可给出所有的个根： 0=e2/,k=0,1,2,…,n一1 (1.32) 除(1.32)中的值以外的其他飞值所给出的数，其相与(1.32)中 的数相差2π的整倍数，因而不是一个不同的根。 习 题 1.1用高斯制的基本单位（厘米，克，秒）表示下列各单位：(a)达因； (b)尔格；(c)静库。 1.2计算通过距离-一金原子核0.3000A的α粒子所受的力。 1.3(a)计算一个以速率为光速的1/137运动的电子的德布罗意波长。 (b)你认为(1.3)式中m是粒子的静质量还是相对论质量？ 1.4对于在一维中运动并受到一个恒定的力F作用的一个经典力学粒 子，给出其作为时间的函数的轨道。假定在时刻t,粒子在x,处并有速度v。 1.5在(a)气体分子运动论中，(b)测量随机误差的分折中，出现什么重 要的几率密度函数？ 1.6下列函数中，哪个满足作为儿率密度函数的全部要求：(a)e;(b) xe-*';(c)e-x'? 1.7若在CF6的质谱中，在质量数138处的蜂是100单位高。计算质 量数139和140处的峰高。同位素丰度：C12-98.89%,C13一1.11%，F19 一100%。 1.8在桥牌游戏中，四个牌友(A,B,C,D)每人取13张牌。若A和 C有13张黑桃中之11张，剩下的两张黑桃分配给B和D每人各一张的儿率 *译者注：原书误为(1.25) 。18·
多大 1.9在汤姆逊(J.J.Thomson)研究阴极射线管中的电子时，他观察 到粒子遵守经典力学所预期的行为。(a)电子通过1000伏的电位差而被加 速，并穿过一0.100厘米宽的准直狭缝。计算在图1.1中的衍射角a。利用 (6.121),以及对于小的a,sina≈a。(b)对于1000伏的电子，狭缝多宽才 能给出a=1.00°？ 1.10铅的密度是11克/厘米3。若铅原子是立方体，每边多长？ 1.11证明 sing=oio-e-io 2i,cos0=eio+e-10 2 1.12求1的立方根。 1.13求下列各数的绝对值和相：(a)i;(b)aew;(c)1一2i。 宁世光译 419· 4
第二章箱中的粒子 2.1微分方程 因为薛定谔方程是微分方程，我们将复习一下微分方程。在 本节里，我们只考虑常微分方程，即只包括一个变量的微分方程。 我们的微分方程将包含一个自变量x,一个因变量(x),以及y的 一阶，二阶，·，飞阶导数之间的某种关系。我们有 f(x,,,',…,)=0 ·(2.1) 式中∫表示某种函数关系。一个例子是 yi)+a(y')2+sinxcosy=3e* (2.2) 微分方程的阶是出现的最高导数的阶。所以(2.1)是？阶，而 (2.2)是4阶。 一特殊类型的微分方程是线性微分方程，它的形式是 An()ym)+An-1()yn-1)+.+Ao(x)y=g(x) (2.3) 式中A是x的各种函数。不能以(2.3)形式表示的微分方程是非 线性的。如果在(2.3)中g(x)=0,这线性微分方程叫做是齐次 的；否则，就是非齐次的。一维的薛定谔方程(1.16)是二阶线性齐 次微分方程。 用”的系数去除，我们可使任一个二阶线性齐次微分方程变 为下列形式 y+P(x)y'+Q(a)y=0 (2.4) 假设有两个独立的函数y1和92，每个都满足(2.4)。所谓独立，是 指y2不简单地为1的倍数。则(2.4)的通解为 =C11十C2y2 (2.5) ·20·
式中c1和c2是两个任意常数。这容易由(2.5)代人(2.4)来验证： c11+c25+P(x)c1i+P(x)c22+Q(x)c1+Q(x)c22 =c[1+P(x)1+Q(x)y]+c2[3+P(x)y2+Q(x)2] =c10十c20=0 式中用了1和2满足(2.4)的事实。 一般地说，”阶微分方程的通解有忆个任意常数。为确定这 些常数，要有边界条件，即在某一点或某几点y或？的各种导数有 特定值的条件。如果！表示两端点固定的振动弦的位移，我们知 道在这些固定点必为零。以后将对薛定谔方程讨论适宜的边界 条件。 ·一个重要的情形是常系数二阶线性齐次微分方程： y”+p+q=0 (2.6) 式中卫和9是常数。为解(2.6)，让我们暂时假定一个解的形式是 =e“。(我们正在寻找一函数，其导数若只是乘以常数，将可消 去原来的函数。指数函数在微分时重复其本身，所以是正确的选 择。)代入(2.6)，得 82er十psex+qe8x=0 82+p8十q=0 (2.7) 方程式(2.7)叫做辅助方程。它是一个二次方程式，有两个根81和 82,只要81和82不相等，就给出(2.6)的两个独立解。所以(2.6) 的通解是 =c1e2十c2e (2.8) 2.2一维箱中的粒子 有了所得的一种微分方程的解，让我们来看能用这种解去解 薛定谔方程的一种情况。考虑在一维箱中的一粒子。这里我们指 一粒子服从这样一个势能函数：沿x轴一长度为1的线段内势能 。21…
为零，除此而外，沿x轴的任何处势能为无穷大。这样的体系好象 在物理上是不真实的，但后面我们将看到这个模型可成功地用于 某些共轭分子；见15.8节。我们把原点放在线段的左端（图2.1）。 到 V(x) 1 X=0 图2.1一维箱中粒子的势能。 有三个区要讨论。区I和区Ⅲ，势能V等于无穷大；对这些 区，薛定谔方程(1.16)是： 器+0(8-0)9=0 与o相比，E可忽略，有 d2的 dx2 =c∞0，为=12 oo da2 我们断定箱外中为零： p虹=0，m=0 (2.9) 区II,x在0与1之间，势能V为零，薛定谔方程(1.16)变为 +8:=0 (2.10) 式中m是粒子的质量，E是它的总能。我们看出(2.10)是一个常 系数二阶线性齐次微分方程。辅助方程(2.7)给出 82+2m8i-2=0 8=士(-2mE)1/2i-1 (2.11) 能量B等于势能（这里为零）加动能（为正），所以是正的，而为了 方便可将(2.11)重写为 ·22·