篤一章概率论的基本概念 25 率 解①以A、B、C分别记事件A、B、C各人在办公室,以TA、 B、Tc分别记事件有人打电话给A、B、C,由题设 P(TA)=2/5,P(TB)=2/5,P(Tc)=1/5, 且知A、B、C不在办公室的概率分别为1/2,1/4,1/4.即有 P(A)=1/2,P(B)=1/4,P(C)=1/4,又知事件A,B,C相互 独立 (1)无人接电话,意味着A,B,C都发生,因已知事件A,B C相互独立,因而A,B,C也相互独立,故所求概率为 1、11 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=244-32 (2)即需求事件ATA∪BTg∪CTc的概率,一只电话只打给 个人且发话人与受话人行动是相互独立的,从而ATA,BTB, CTc两两互不相容,且A与TA,B与TB,C与Tc相互独立,故所 求概率为 P=P(ATA U BTBU CTO) P(ATA)+ P(BTB)+P(CTr) P(A)P(TA)+P(B)P(TB)+ P(C)P(Tc) =(1 13/20 (3)所求概率为 p3=P|[TA(1)TA(2)TA(3)]U[TB(1)T(2)TB(3)] ∪[Tc(1)Tc(2)Tc(3)]}, 此处TA(1),TA(2),TA(3)分别表示第1,第2,第3个电话是打给 A的,其余记号含义类似.上式中三个方括号所示的事件两两互 ①.按题意,本题只考虑题中的 关情况都是随机发生的、例如发话人与受 话人无事先约定,发话人之间也无事先约定等等,且电话只打给一个人
26 慨率论与数理统计习题全解指南 不相容,因此 p3=P[TA(1)TA(2)TA(3)]+P[TB(1)T(2)TB(3) +P[Tc(1)Tc(2)rc(3)], 又由各次电话的独立性且由题设P(TA(i))=2/5,P(T(i))= 2/5,P(Tc(i))=1/5,i=1,2,3,得 3)+(3)+() 125 (4)三个电话打给三个不相同的人,共有3!=6种搭配,例如 TA(1)T(2)Tc(3)或TA(1)TB(3)Tc(2)等这6种搭配两两互 不相容,每一种搭配的概率都是专×专x3=2(例如 PITA(1)T(2)Tc(3)]=P[TA(1)]P[TB(2)]P[Tc(3)] .) 从而所求概率为 P, 125125 (5)一只电话打给B的条件下B不在的条件概率为1/4,三只 电话都打给B的条件下而B都不在的条件概率为 1x1y1 因外来电话是相互独立的) 31.袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币(次品硬币的两 面均印有国徽),在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得 到国徽问这只硬币是正品的概率为多少? 解以T记事件“将硬币投掷r次每次都出现国徽 记事件“所取到的是正品”,由题设P(A)=m/(m+n),P(A) =n/(m+n),P(T|A)=1,P(T|A)=1,需要求的是概率 P(A|T).由贝叶斯公式,所求概率为
第一章概率论的基本概念 27 P(AT)=2(A7) P(TAP(A P(T)P(TJAP(A+ P(TTAP(A) 2)/( n 2 32.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击伤的概 率为1/2,击不中的概率为1/6并设击伤两次也会导致潜水艇下 沉求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.(提示:先求出击不 沉的概率.) 解“击沉”的逆事件为“击不沉”.击不沉潜艇仅出现于下述 两种互不相容的情况:(i)4枚深水炸弹全击不中潜艇(这一事件 记为A),(i)一枚击伤潜艇而另三枚击不中潜艇(这一事件记为 B).各枚炸弹袭击效果被认为是相互独立的,故有 P(A) 4 而 P(B) (因击伤潜艇的炸弹可以是4枚中的任一枚),又A,B是互不相容 的.于是,击不沉潜艇的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=13/64, 因此,击沉潜艇的概率为 p=1-P(AUB)=1-13/6 33.设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损 坏的情况共有三种:损坏2%(这一事件记为A1),损坏10%(事件 A2),损坏90%(事件A3),且知P(A1)=0.8,P(A2)=0.15 P(A3)=0.05.现在从已被运输的物品中随机地取3件,发现这3 件都是好的(这一事件记为B).试求P(A1B),P(A2|B), P(A3(B)(这里设物品件数很多,取出一件后不影响取后一件是
28 概率论与数理统计习题全解指南 否为好品的概率) 解在被运输的物品中,随机取3件,相当于在物品中抽取3 次,每次取一件,作不啟回抽样.又根据题中说明抽取一件后,不 影响取后一件是否为好品的概率,已知当A1发生时,一件产品是 好品的概率为1-2%=0.98,从而随机取3件,它们都是好品的 概率为0.983,即 P(BA1)=0.98 同样 P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.1 又知 P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05 现在AA,=奶,≠j,i,=1,2,3,且P(A,∪A2UA3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)=1,由教材23页的附注知道此时全概 率公式、贝叶斯公式都能够应用,由贝叶斯公式得到 P(A1B) P(BA,P(A, P(BIASP(A,+ P(BA2)P(A)+P(BIAP(A (0.98)×0.8 0.8624 =0.8731, P(A2|B)=09×0.15 0.8624 =0.1268, P(A3B)0.13×0.05=0.0001. 0.8624 34.将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概 率为a,而输出为其它一字母的概率都是(1-a)/2.今将字母串 AAAA,BBBB,CCC之一输人信道,输人AAAA,BBBB,CCCC 的概率分别为p1,p2,p3(p+p2+p3=1),已知输出为ABCA, 问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输各个字母的工作
第一章概率论的基本概念 29 是相互独立的.) 解以A1、B1、C1分别表示事件“输人AAAA”、“输人 BBBB”、“输入CCCC”,以D表示事件“输出ABCA”.因事件A1, B1,C1两两互不相容,且有P(A1∪B1山C1)=P(A1)+P(B1) P(C1)=p1+p2+p3=1,因此全概率公式和贝叶斯公式可以 使用(参见教材23页附注).由贝叶斯公式有 P(A1 D)=P(AID) P(D) P(D A1)p DAP+ P(d B1)p2+ P(DCi)p3 在输入为AAAA(即事件A1)输出为ABCA(即事件D)时,有两 个字母为原字母,另两字母为其他字母,所以 P(DIA1 同理P(D|B1)=P(D|C1)=a 代人上式并注意到p1 p2+p3=1,得到 P(AID) 2apl P1