20· 概宰论与数理统计习题全解指南 p,将它们按图1-1(2)的方式联接(称为桥式系统).试分别求这 两个系统的可靠性 解(1)以A,表示事件“第i只元件正常工作”,i=1,2,3, 4,以A表示“系统正常工作”,已知各元件是否正常工作相互独 立,且有P(A;)=p(t=1,2,3,4)由图知 A=A,[(A2A3)UA4J=A,A2A3UAA4 由加法公式及各元件工作的独立性得到 P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P{(A1A2A3)∩(A1A4)} =P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(A1A2A3A4) 1p2P3+p1P4-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) p1(p4+p23-p2B3P4) 2)以A4表示事件“第i只元件正常工作”,i=1,2,3,4,5 以A表示“系统正常工作”,已知各元件是否正常工作相互独立, 且有P(A2)=p(i=1,2,3,4,5) 解法〔i)(路径穷举法)根据系统逻辑框图(图1-1(2)),将 所有能使系统正常工作的路径一一列出,再利用概率的加法定理 和乘法定理来计算系统的可靠性P(A).由图知使桥式系统正常 工作的路径有下列4条:12,45,135,432.以B记事件第j(=1, 2,3,4)条路径正常工作,即有 B,=A1A2,B2=A4As, B3=A1A3AS, B4=A2A3A4 于是得系统的可靠性为 P(A)=P(B, UB,UB,UB) P(B ∑P(BB) P(B, BB,) ls<y≤4 1≤I<j<k≤4 P(B,B,B,B) =P(A1A2)+P(A4A5) P(A,A3As)+P(A2A3A4)-P(A1A2A4As) P(A1A2AAs)-P(A1A2A3A4)-P(A,A3A.As)
第一章概率论的基本概念 21 P(A2A3A4As)-P(A1A2A3A4As) P(AJA2A3A4As)+ P(A,A2A,A,As P(A,A,ArAAs)+P(A,A ARAras 5 P (AA,,As 2 2p2+2p-5力+2p 解法(i)(全概率公式法)按元件3处于正常工作与失效两 种状态,将原系统简化为典型的并串联和串并联系统,再用全概 率公式 P(A)=P(A|A3)P(A3)+P(A|A3)P(A3) 来计算原系统的可靠性 图1-2 当元件3正常工作时,系统简化成如图()所示,当元件3失 效时,系统简化成如图(b)所示因此 P(A|A3)=P[(A1UA4)(A2UA5)] P(AA3)=P(A,A,UAAs 故 P(A)=PL(A,U AA(A,U ASIP(A) +P(A1A2∪A4A5)P(A3) 注意到 P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)-P(A1A4)=2p-p2 同样 P(A,U As)=2P-p A44s)=P(A1)P(A2)+P(A4)P(A3)
22 概率论与数理统计习题全解指南 P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)=2p2-p 即得原系统的可靠性为 P(A)=(2p-p2)2p+(2p2-p4)(1-pb) 2p-+2p-5p+2p 注意:本题易犯的错误是在使用概率的加法公式时,没有注 意两事件不是不相容的,例如在(1)中应有P(A1A243∪A1A4) =P(A1A2A3)+P(A1A4)-P(A1A2A3A4),而错误地将最后 项P(A1A2A3A4)漏了 27.如果一危险惰况C发生时,一电路闭合并发出警报,我们 可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性在C发生时这些开 关每一个都应闭合,且若至少一个开关闭合了,警报就发出如果 两个这样的开关并联联接,它们每个具有0.96的可靠性(即在情 况C发生时闭合的概率),问这时系统的可靠性(即电路闭合的概 率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统,则至 少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的 解以A1表示事件“第i只开关闭合 P(A2)=0.96,由此可得两只这样的开关并联而电路闭合的概率 为(注意各开关闭合与否是相互独立的) P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) =P(A1)+P(A2)-P(A1)P(A2) 2×0.96-0.962=0.9984 设需要n只这样的开关并联,此时系统可靠性R P(UA,),注意到 UA:=AlUA2U …UA=A1A2…A 且由A1,A2,…,An的独立性推得A1,A2,…,An也相互独立故 R=P(∪A1)=1-P(∪A:)=1-P(A1A2…An)
第一章概率论的基本概念 23 1P(A1)P(A2)…P(An)=1-(1 要使R≥0.9999,即要使1-0.04≥0.9999,亦即要使0.0001 ≥0.04”.故应有 lg0.0001 lg0.04 lg251.39792.86 因n为整数,故应有n≥3,即至少要用3只开关并联 28三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分 别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率 是多少 解以A表示事件“第i人能译出密码”,i=1,2,3.已知 P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,则至少有一人能译 出密码的概率为 p=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) 由独立性即得 3×4 3 5 也可以这样做因A1,A2,A3相互独立,知A1,A2,A3也相 互独立,即有 p=1-P(A1A243)=1-P(A1)P(A2)P(A3) 29.设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二 只盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒 子中各取一只球 (1)求至少有一只蓝球的概率; (2)求有一只蓝球一只白球的概率;
·24· 橛率论与数理统计习题全解指南 3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率 解以B2记事件“从第i只盒子中取得一只蓝球”,以W,记 事件“从第i只盒子中取得一只白球",i=1,2.由题设在不同盒 子中取球是相互独立的 (1)即需求P(B1∪B2)利用对立事件来求较方便,即有 P(B,UB2)=1-P(B1UB2)=1-P(B1B2) =1-P(B1)P(B2)=1-4×7 (2)即需求事件B1W2∪B2W1的概率注意到B1,W是互 不相容的,即B,W,=必,因而(B1W2)(B2W1)=,故有 P(BIW2UB2W1)=P(B, W2)+ P(B2W1) =P(B1)P(W2)+P(B2)P(W1) 4+2y216 9 (3)即需求条件概率p=P(B1W2UB2W1B1∪B2).因 (B1W2∪B2W1)CB1UB2,故有 P=P(B,W2UB2W1(BU B2)I/P(B,U B,) P(B1W2∪B2W1)/P(B1∪B2)=16/35 30.A、B、C三人在同一办公室工作.房间里有一部电话据 统计知,打给A、B、C的电话的概率分别为2/5,2/5,1/5.他们三 人常因工作外出,A、B、C三人外出的概率分别为1/2,1/4,1/4 设三人的行动相互独立求 (1)无人接电话的概率 (2)被呼叫人在办公室的概率, 若某一时间段打进3个电话,求 (3)这3个电话打给同一个人的概率; (4)这3个电话打给不相同的人的概率; (5)在这3个电话都打给B的条件下,B却都不在的条件概