第二章随机变量及其分布 1.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3 只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分 布律 解从1~5五个正整数中随机取3个,以X表示3个数中 的最大值x的可能值为3,4,5在五个数中任取3个共有( 3 10种取法 X=3}表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是t, 2,仅有这一种情况,故P{X=3=1 1/10. 3 X=4表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在 1,2,3中任取2个,共有种取法故P1X=4|= 3/10 X=5}表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数可在 1,2,3,4中任取2个,共有种取法.故P{X=5} 2/(3)=3/5.PX=5也可由1-PX=3}-PX=41得 到 X的分布律为 103/106/10
第二章随机变量及其分布 31 2.将一颗骰子抛掷两次,以X表示两次中得到的小的点数, 试求X的分布律 解以Y1,Y2分别记第一次、第二次投掷时骰子出现的点 数,样本空间为 s=1(y1,y2)|y1=1,2,…,6;y2=1,2,…,6}, 共有6×6=36个样本点 X=min(Y1,Y2)所有可能取的值为1,2,3,4,5,6这6个 数,当且仅当以下三种情况之一发生时事件{X=k(k=1,2 3,4,5,6)发生: (i)Y1=且Y2=k+1,k+2,…,6(共有6-k个点); (i)Y2=k且Y1=k+1,k+2,…,6(共有6-k个点); (i)Y1=k且Y2=k(仅有一个点) 因此事件{X=k}共包含(6-k)+(6-k)+1=13-2k个 样本点,于是X的分布律为 PiX=ki 13-2k 36 ,k=1,2,3,4,5,6 或写成表格形式 X 6 11/369/367/365/363/361/36 3.设在15只同类型的零件中有2只是次品,在其中取3次, 每次任取1只,作不放回抽样.以X表示取出的次品的只数.(1) 求X的分布律;(2)画出分布律的图形 解(1)在15只零件(其中有2只次品)中抽样3次,每次任 取1只作不放回抽样,以X表示所得的次品数,X所有可能取的 值为0,1,2,且有 P{X=0} 1312
32 概率论与数理统计习题全解指南 Px=11=51413+13·1 151413 14·13)=据 PX=2}=1-P1X=0}-P1X=1}=1 分布律为 PINky 2235 X 22/3512/351/35 12/35 (2)分布律的图形如图2-1 35 2 t 进行重复独立试验,设每次试 验成功的概率为p,失败的概率为 图2 q=1-p(0<p<1) (1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验 次数求X的分布律(此时称X服从以p为参数的几何分布,) (2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验 次数,求Y的分布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分 布或负二项分布.) (3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投 中时累计投篮的次数写出X的分布律,并计算X取偶数的概率 解(1)此试验至少做1次,此即X可能值的最小值.若需做 k次,则前k-1次试验均失败最后一次成功,由于各次试验是相 互独立的,故分布律为 PX=k 户=(1-p)p,k=1,2,3, (2)此试验至少做r次,若需做k次,则第k次必为成功,而前 k-1次中有r-1次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律 为
第二章随机变量及其分布 33· PiX k p'q k (3)先写出X的分布律它是题(1)中p=0.45的情形.所求 分布律为 P|X=k}=0.45(0.55)k1,k=1,2,… 因X=∩X=k}=必,≠k,放X取偶数的概率为 PU(X=2k)=∑P{X=2k} =>0.45(0.55)2k-10.45×0.5511 1-0.5 5.一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的 有一只鸟自开着的窗子飞人了房间,它只能从开着的窗子飞出 去.鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间假定鸟是没有记忆的, 鸟飞向各刷窗子是随机的 (1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律 (2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的 尝试不多于一次以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次 数.如户主所说是确实的,试求Y的分布律 (3)求试飞次数X小于Y的概率;求试飞次数Y小于X的概 率 解(1)本题的试飞次数是指记录鸟儿飞向窗子的次数加上 最后飞离房的一次,其分布律为(参见第4题(1)) PX=k=(3)(3 ,免=1,2,… 2)由题意Y的可能值为1,2,3 Y=1表明鸟儿从3扇窗子中选对了一扇,因对鸟几而言 扇窗是等可能被选取的,故P{Y=1}=1/3 Y=2}表明第一次试飞失败(选错了窗子)失败方式有2, 故第一次失败概率为2/3,第二次,鸟儿舍弃已飞过的那扇窗,而
概率论与数理统计习题全解指南 从余下的一开一关的两窗选一,成功机会为1/2,故P{Y=2} (2/3)(1/2)=1/3 对有记忆鸟儿来说,∑PY=计=1,板PY=3}=1/3 即Y的分布律为 PY=i=1/3,i=1,2,3 (3)(i)X<Y}可分解为下列3个两两不相容的事件之 和,即 X<Y}=1(X=1)∩(Y=2)|U(X=1)∩(Y=3) U(X=2)∩(Y=3)}, 故 PX<Y}=P(X=1)∩(Y=2) +P{(X=1)∩(Y=3)} +PH(X=2)∩(Y=3)} 因为两只鸟儿的行动是相互独立的,从而 PiX< Y=PIX=PIY=2 +P{X=1}PIY=3}+P{X=2}P{Y=3} 1112 8 27 (ii) PY<X=1-PIX<YI-PIX=YH 1-8/27-∑ P{X=k)∩(Y k) 1-8/27 PiX=kIPIY=k 1-8/27-(1/3)(1/3)-(2/9)(1/3) -(4/27)(1/3)=38/81 6.一大楼装有5个同类型的供水设备调查表明在任一时刻 每个设备被使用的概率为01,问在同一时刻, (1)恰有2个设备被使用的概率是多少?