第一章概率论的基本概念 15 并注意到,在试验E2中第二盒球的个数为11,故 P(W|R0)=7/11,P(W|R1)=6/1,P(Ww|R2)=5/11, 所以 P(W)=7x1+6y1051899 53 解法[i)(1)以A表示事件“最后取到的是白球”,以B表 示事件最后取到的是甲袋中的球”,因 A=SA=(B∪B)A=BA∪BA,(BA)(BA)=, 于是 P(A)=P(BA)+P(BA) P(A B)P(B)+ P(AJB)P(B) 而 P(B)=N+M+1,P(B)-N+M, (这是因为最后是从乙袋中取球的,此时乙袋中共有N+M+1只 球,其中只有一只是甲袋中的球) 又有P(A|B)= ,P(AIB) M+NS 故 P(A) NN+M m N +M+1+MN N(n +m) m)(N+M+1 (2)以A表示事件“最后取到的是白球”,以B表示事件“最后 取到的是甲袋中的球”,因 A=SA=(B∪B)A=BA∪BA,(BA)(BA)= 得 P(A)=P(AIB)P(B)+ P(A B)P(B) 4 9×i+g×11=9
16 概率论与数理统计习题全解指南 20.某种产品的商标为“ MAXAM”,其中有2个字母脱落,有 人捡起随意放回,求放回后仍为 MAXAM”的概率 解以H1,H2,H3,H4,H依次表示事件“脱落M、M",“脱 落A、A",“脱落M、A”,“脱落ⅹ、A”,“脱落X、M”,以G表示事 件“放回后仍为 MAXAM”,所需求的是P(G).可知H1,H2,H3, H4,Hs两两不相容,且H1∪H2UH3∪H4∪H=S.已知 2\5 P(H1) 2(2 L10,P(H2) 1/10, 2/(2/ 2/2}/15 P(H3)= =4/10,P(H4)= 1121/5 I)(1 2 11(215 P(H5) 2/10 而 P(G|H1)=P(G|H2)=1, P(GH3)=P(G|H4)=P(G|H5)=1/2 由全概率公式得 P(G)=∑P(G|H1)P(H1)=1+ 2 21.已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲者,问 此人是男性的概率是多少? 解以A表示事件“选出的是男性则A表示事件“选出的是 女性”,以H表示事件“选出的人患色盲”,则表示“选出的人不患 色盲”由题设P(A)=P(A)=1/2,P(HA)=0.05,P(HA) 0.0025,所需求的概率是P(AH)由贝叶斯公式得 P(AIH)=P(AH) P(HJAP(A H) P(HTAP(A+ P(HAP(A) 0.05× 50020 0.05×+0.0025× 152521
第一章概率论的基本概念 ··17 22.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概 率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及 格则第二次及格的概率为p/2.(1)若至少有一次及格则他能取 得某种资格,求他取得该资格的概率.(2)若已知他第二次已经及 格,求他第一次及格的概率 解E:-学生接连参加一门课程的两次考试以A;表示事 件“第i次考试及格",i=1,2;以A表示“他能取得某种资格” (1)按题意A=A1∪A1A2.因A1∩(A1A2)=0,且由已 知条件 P(A1) P(A1)=1-p, P(A21A1)=p,P(A2|A1)=p/2 故 P(A)=P(A1UA1A2)= P(Ai+P(A,A2) p+P(A2|A1)P(A1)=p+(p/2)(1-p) =(3/2)p-(1/2)p2 (2)P(A1A2)= P(AA2) P(A P(A2|A1)P(A1) P(A2A1)P(A1)+P(A2A1)P(A1) p 2p 巾×p+(p/2)(1 户)p+1 23.将两信息分别编码为A和B传送出去,接收站收到时,A 被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息 A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问 原发信息是A的概率是多少? 解以D表示事件“将信息A传递出去”,则D表示事件“将 信息B传递出去”,以R表示“接收到信息A”,则R表示事件“接 收到信息B”,按题意需求概率P(D|R).已知 P(R|D)=0.02,P(R|D)=0.01,且有P(D)/P(D)=2/1
概率论与数理统计习题全解指南 由于P(D)+P(D)=1,得知P(D)=2/3,P(D)=1/3.由贝 叶斯公式得到 P(D|R)≈P(DR) P(R DP(D P(R) P(R D)P(D)+P(RD)P(D) 1-0.02)×(2/3 196 1-0.02)×(2/3)+0.01×(1/3)-197 24.有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品 第二箱装30只,其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱,然后 从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样.求(1)第 次取到的零件是一等品的概率.(2)第一次取到的零件是一等品 的条件下,第二次取到的也是一等品的概率 解以H表示事件“从第一箱中取零件”,则H表示事件“从 第二箱中取零件”由已知条件P(H)=P(H)=1/2.又以A表 示事件“第次从箱中(不放回抽样)取得的是一等品 1,2 (1)由条件P(A1H)=1/5,P(A1|于)=3/5,故 P(A1)=P(AIH)P(H)+ P(A1 HP(H) l/10+3/10=2/5 P(A1A2 (2)需要求的是P(A2A1)因P(A2A1)=P(A1),而 P(A1A2)=P(A1A2| H)P(H)+P(A1A2 H)(H) 由条件概率的含义,P(A1A2H)表示在第一箱中取两次,每次 取一只产品,作不放回抽样,且两次都取得一等品的概率因第一 箱共有50只产品,其中有10只一等品,故有P(A1A2|H) 10 同理,P(A142|)=18×1,故有 3029 P(A2/A1)P(A1A2) P(A1) P(ADLP(A1A2 H)(H)+(A1A2lH)P()
第一章概率论的基本概念 19 1817 5049230292 951 4(4929/=0.4856 25.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明: 到家时闾5:35~5:35:40~5:45:45-5:45:3~5:5迟于5:54 乘地长的概率0.10 0.25 0.15 0.05 来汽车的概率|0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家 的试求他是乘地铁回家的概率. 解以H表示事件“乘地铁回家”则H表示事件“乘汽车回 家”因到家时间为5:47,它属于区间5:45~5:49,以T记“到家 时间在5:45~5:49之间”,则需要求的是概率P(HT).已知 P(T|H)=0.45,P(TH)=0.20,又因他是由掷硬币决定乘地铁 还是乘汽车因此,P(H)=P(H)=0.5由贝叶斯公式得 P(HT)≈P(HT) P(THP(H) P(T P(T)P(H)+P(TIHP(H) 0.45×0.5 0.45×0.5+0.20×0.513 26(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠性分 别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1-1(1)的方式联接(称为并串联 系统); (2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5它们的可靠性均为 图1-1