10 概率论与数理统计习题全解指南 50 P(A,)= 1/19600,i=1,2,…,10, 且知A1,A2,…,A10两两互不相容,因此,10个部件中有一个强 度太弱的概率为 p=PA1∪A2U…UA10 P(A1)+P(A2)+…+P(A10) =10/19600=1/1960 13.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求条件 概率P(B|A∪B) 解P(BAUB) P(B(AU B) P(A∪B) P(AB) P(A)+ P(B)-P(AB P(B|AUB)=0.7+0.6-0.550.2,8 由题设得P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B) 0.6,P(AB)=P(A(S-B))=P(A)-P(AB)= 14.已知P(A)=4,P(BA)=3,P(AB)=3,试求 P(AUB) M P(AB)=P(B JA)P(A)=1/12 P(B)=P(AB)/P(AIB) 故 P(AU B)=P(A)+P(B)- P(AB) 15.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗 为1点的概率(用两种方法) 解E:掷两颗骰子,观察其出现之点数.以A记事件“两骰 子点数之和为7”,以B记事件“两颗骰子中有一颗出现1点
第一章概率论的基本概念 解法()按条件概率的定义式:P(BA)=P(A)来求条 件概率.设想两颗骰子是可分辨的,样本空间为 S=(1,1),(1,2),…,(1,6),(2,1),(2,2), …,(2,6),…,(6,6)}, A=1(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, AB=(1,6),(6,1)}现在N(S)=36,N(A)=6,N(AB)=2,因 此 P(BA)=2/3=1 解法(i)按条件概率的含义来求P(BA).样本空间原有 36个样本点,现在知道了“A已经发生”这一信息,根据这一信息, 不在A中的样本点就不可能出现了,因而试验所有可能结果所成 的集合就是A,而A中共有6个可能结果,其中只有两个结果 (1,6)和(6,1)有一颗骰子出现1点,因此 P(B|A)=2/6=1/3 16.据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有 以下规律: P{孩子得病}=0.6,P母亲得病|孩子得病卜=0.5, P父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4, 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率 解以A记事件“孩子得病”,以B记事件“母亲得病”,以C 记事件“父亲得病”,按题意需要求P(ABC).已知P(A)=0.6, P(BA)=0.5,P(C|BA)=0.4,由乘法定理得 P(ABC)=P(CBA)= P(CIBA)P(BA) =P(C BA)(BA)P(A) (1-P(C BA)P(B AP(A) 0.6×0.5×0.6=0.18 17.已知在10只产品中有2只次品,在其中取两次,每次任
·12 慨率论与数理统计习题全解指南 取一只,作不放回抽样.求下列事件的概率: (1)两只都是正品; (2)两只都是次品; (3)一只是正品,一只是次品; (4)第二次取出的是次品 解E:在10只产品中(其中有2只次品)任取两次,每次取1 只,作不放回抽样.以A1(i=1,2)表示事件“第i次抽出的是正 品”.因为是不放回抽样,所以 (1)P(A1A2)=P(A21A1)P(A,)78_28 91045 (2)P(A1A2)=P(A21|A1)P(A1)=4x2=14 (3)P(A1A2∪A1A2) P(A1A2)+P(A1A2)(因(41A2)(A1A2)=C) P(A21A1)P(A1)+P(A2A1)P(A1) 2y8+8 216 045 亦可利用(1)(2)的结果.因为A1A2UA1A2∪A1A2U 1A2=S,且A1A2,A1A2,A1A2,A1A2两两不相容,故 P(A1A2UA1A2)=1-28116 454545 (4)P(A2)=P[(A1∪A1)A2]=P(A1A2UA1A2) =P(A1A2)+P(A1A2) P(A2A1)P(A1)+P(A2A1)P(A1) 2 10910 18.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨 号求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率.若已知最后 个数字是奇数,那么此概率是多少? 解法()以A表示事件“第i次拨号拨通电话”,=1,2,3
第一章概率论的基本概念 13 以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”,则有 A=A1UA1A2∪A1A2A3 因A1,A1A2,A1A2A3两两互不相容,且P(A1)=1/10 P(A1A2)=P(A21A1)P(A1)=1y9 P(A,A2A3)= P(A3 A,A2)P(A2lA,P(A,) 8+ 10 即有 P(A)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3) 111_3 1010·1010 当已知最后一位数是奇数时,所求概率为 解法(i)沿用解法(i)的记号,知 P(A)=1-P(拨号3次都接不通)=1-P(A1A2A3) 1-P(A3A1A2)P(A21A1)P(A1) 8、8 91010 当已知最后一位是奇数时,所求概率为 p=1 2x3y43 19.(1)设甲袋中装有n只白球、m只红球;乙袋中装有N只 白球、M只红球今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋 中任意取一只球问取到白球的概率是多少? (2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只 红球5只白球先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然 后从第二盒子中任取一只球求取到白球的概率 解法〔)(1)E:从甲袋任取一球放入乙袋(此为试验E1)
概率论与数理统计习题全解指南 再从乙袋任取一球观察其颜色(此为试验E2).试验E是由E1和 E2合成的以R表示事件“从甲袋取得的是红球”,以W表示事件 从乙袋取得的是白球”,即有 W=SW=(R∪R)W=RW∪RW,(RW)(RW)= 于是P(W)=P(RW)+P(RW) P(WR)P(R)+ P(WR)P(R). P(R)= P(R)= 在计算P(w|R),P(W|R)时,注意在试验E2中,乙袋球数 为N+M+1只;在求P(W|R)时,乙袋白球数为N,但在求 P(W|R)时,乙袋白球数为N+1,故 P(w) n+M+In+ n+M+in+m r+N(n +m) )(N+M+1) (2)E:从第一盒中任取2只球放人第二盒(E1),再从第二盒 任取一球观察其颜色(E2)以R(i=0,1,2)表示事件“从第一盒 中取得的球中有i只是红球”,以W表示事件“从第二盒取得一球 是白球”由于R0,R1,R2两两互不相容,且R0UR1UR2=S, 故 W= sW=(RoURiUR2)w=Row+R,w+R2w 从而 P(W)=P(Row)+P(R,w)+P(R2 w) =P(W|R0)P(R0)+P(W|R1)P(R1) +P(w|R2)P(R2) 而 P(R0) 4)(9}=1/6,P(R2) 51//9 22 5/18 2/2 P(R1)=1-P(R0)-P(R2)=1-1/6-5/18=10/18