第一章概率论的基本概念 人中任选3人共有 120种选法,此即为样本点的总数.以A 记事件“最小的号码为5”,以B记事件“最大的号码为5 (1)因选到的最小号码为5,则其中一个号码为5且其余两个 号码都大于5,它们可从6~10这5个数中选取,故N(A)=(), 2 从而 P(A)=N(A)/N(S)= 1/12. 2 3 (2)同理,N(B) 故 2 4)/10 P(B)= N(B/N(S) l/20 2//(3 7.某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶、红 漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾 客问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所订 颜色如数得到订货的概率是多少? 解E:在17桶油漆中任取9桶给顾客以A表示事件“顾客 取到4桶白漆,3桶黑漆与2桶红漆”则有N(S)1),N(A) 9 101/41(3 4八3八2 故 P(A)= N(A)/N(S) 101/41/3\//17 252/2431 4)13/(2 8.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200 个.(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率 解E:从1500个产品中任取200个产品以A表示事件“恰 有90个次品",以B,表示事件“恰有i个次品",=0,1,以C表示 事件“至少有2个次品
概率论与数理统计习题全解指南 1500 (1)N(S)= 200 400 1100 400\/1100 N(A) 90)200-90 110 故P(A)=N(A)/N(S) 400/11001//1500 90110 (2)C=S-B0-B1,其中B0,B1互不相容,所以 P(C Bo--B1)=P(S-[BoU B13) I-P(B0B1)=1-P(B0)-P(B1) 因 (B0)= 1100 200/N(B1) 400}/1100 故 1100 1500 P(B0)= P(B1) 400)/1100}//1500 200 200 因此有 P(C)=1 11001//15001(400}/1100}/1500 200 200 1100 400}/1100 1500 200 1 199 200 9.从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两 只配成一双的概率是多少? 解E:从5双不同的鞋子中任取4只以A表示事件“所取 4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”,则A表示事件“所取4只 鞋子无配对的”先计算P(A)较为简便.以下按N(A)的不同求 法,列出本题的3种解法,另外还给出一种直接求P(A)的解法 解法()考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的.自5双 (10只)鞋子中任取4只共有10×9×8×7种取法,N(S) 10×9×8×7.现在来求N(A).第一只可以任意取,共有10种
第一章概率论的基本概念 取法,第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的 8只鞋子中任取一只,共8种取法.同理第三只、第四只各有6种、4 种取法,从而N(A)=10X8×6×4.故 P(A)=1-P(A)=1-N(A)/N(S 1-10×8×6×4_13 10×9×8× 解法(i)从10只鞋子中任取4只,共有。】种取法,即 10 N(S)= 为求N(A),先从5双鞋子中任取4双共有 种 4 取法,再自取出的每双鞋子中各取1只(在一双中取一只共有2种 取法),共有24种取法,即N(A) 5 4 5 P(A)=1-P(A)=1 解法(i)现在来求N(A).先从5只左脚鞋子中任取k只 =0,1,2,3,4),有(,种取法,而剩下的4-k只鞋子只能从 k (不能与上述所取的配对的)5一k只右脚鞋子中选取,即对于每个 固定的k,有 5)/5-k k八(4一k 种取法故 N(A) k k(4一k 故 P(A)=1-P(A) (A)/N(S) 80 10)21 4
8 概率论与数理统计习题全解指南 解法()以A;表示事件“所取4只鞋子中恰能配成 双"(i=1,2),则A=A1∪A2,A1A2=.故P(A)=P(A1) +P(A2)因A2为4只恰能配成2双,它可直接从5双鞋子中成双 地取得,故N(A2) N(A1)的算法是:先从5双中取1双, 共有,种取法,另外两只能从其它8只中取,共右/8 种取法,不 过这种取法中将成双的也算在内了,应去掉.从而N(A1) 5「/81/4 IO 120.N(S)仍为(i)中的 210种,故 1/L(2 P(A)=P(A1)+P(A2)= N(A1),N(A2) (S)N(S) l20+10 10.在11张卡片上分别写上 probability这11个字母,从中任 意连抽7张,求其排列结果为 ability的概率 解法()E:自11个字母中随机地接连抽7个字母并依次排 列.将11个字母中的两个b看成是可分辨的,两个i也看成是可分 辨的N(S)=A1.以A记事件“排列结果为 ability',则N(A) =4(因b有两种取法,也有两种取法),因而 P(A)=N(A)/N(S)=4/A1=24×10-6 解法(i)本题也可利用乘法定理来计算以A,,B Is,T6,Y依滴表示取得字母a,b,i,1,,t,y各事件,则所求概率 P(AiB2I3L4IsT6Y,)=P(A1P(B2 AP(I3JAB,) P(L4 A,B2I3)P(IsA,B,I,L4) P(T6|A,B2IL4ISP(Y,A,B,I,LIT) 122 111098 1.1=4/A1
第一章概率论的基本概念 注意,在解法(1)中仅当将两个i看成是可以区分的,两个b看 成是可以区分的,才属于占典概型问题 11.将3个球随机地放人4个杯子中去,求杯子中球的最大 个数分别为1,2,3的概率 解E:将3个球随机地放人4个杯子中去易知共有43种放 置法.以A;表示事件“杯子中球的最大个数为i”,i=1,2,3 A3只有当3个球放在同一杯子中时才能发生,有4个杯子可 以任意选择,于是N(A3) 故 P(A3)=N(A3)/N(S)= 3=1/16. A1只有当每个杯子最多放一个球时才能发生.因而N(A1) 4·3·2=A3 故 P(A)=N(A1)/N(S)=A/43=6/16 又,A1∪A2∪A3=S,且AA,=,i≠j,故P(A1) P(A2)+P(A3)=1,从而 P(A2)=1-1/16-6/16=9/16 12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3只铆钉 强度太弱每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在 个部件上,则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱 的概率是多少? 解将部件自1到10编号.E:随机地取铆钉,使各部件都装 3只铆钉.以A;表示事件“第i号部件强度太弱”.由题设,仅当3 只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上,A2才能发生由于从 50只铆钉中任取3只装在第i号部件上共有 种取法,强度太 弱的铆钉仅有3只,它们都装在第i号部件上,只有|=1种取 法,故