∫，sin xsin mπ nπ xdx on警ff-sjk-4a= 正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之 积在周期范围内积分为零，相同的基本函数之积在 周期范围内积分（模方)不为零。 完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数 ,也不能少一些必要的函数
66 sin sin l l m n x xdx l l − 1 ( ) ( ) cos cos 0, ( ) 2 l l m n m n x x dx m n l l − − + = − = 2 1 2 sin 1 cos , 2 l l l l n n xdx x dx l l l − − = − = (m n = ) 正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之 积在周期范围内积分为零，相同的基本函数之积在 周期范围内积分（模方）不为零。 完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数 ，也不能少一些必要的函数
周期函数展开式代-+号+如行 两边同时乘以1，再积分： e=a1+2a,w1+宫s领1 根据三角函数的正交性： ∫，f(k=a21一a=∫f() 或a,=2∫，f(5)5
77 周期函数展开式： ( ) 0 1 cos sin k k k k k f x a a x b x l l = = + + 两边同时乘以1，再积分： ( ) 0 1 1 1 cos 1 sin 1 l l l l k k l l l l k k k k f x dx a dx a dx b dx l l − − − − = = = + + 根据三角函数的正交性： ( ) 0 2 l l f x dx a l − = 或 ( ) 1 2 l o l a f d l − = ( ) 1 2 l o l a f x dx l − =
00 周期函数展开式：f()=a,+ ao7+6s kπ 展开式两边同时乘以c0sx,再积分： re小e=,as贤a 根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 =n时，积分不为零. (cos=41一4=（es7t 8
88 cos n x l 展开式两边同时乘以 ，再积分： ( ) 0 cos cos l l l l n n f x xdx a xdx l l − − = 1 1 cos cos sin cos l l k k l l k k k n k n a xdx b xdx l l l l − − = = + + 根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 k=n时，积分不为零. ( )cos l n l n f x xdx a l l − = ( ) 1 cos l n l n a f x xdx l l − = 周期函数展开式： ( ) 0 1 k k cos sin k k k f x a a x b x l l = = + +
写成：4-（传cs55,(k=123) 同理： 4=f(in经55、k=l2,3） 若fx)是周期为2的周期函数，且满足狄氏条件( 后面叙述)，则可以展成傅立叶级数： -+,+4纤 a=a了5)o牙55 2 A=打，r)轩5店 1
99 写成： ( ) ( ) 1 cos , 1,2,3,. l k l k a f d k l l − = = 同理: ( ) ( ) 1 sin , 1,2,3,. l k l k b f d k l l − = = 若f (x)是周期为2l的周期函数，且满足狄氏条件（ 后面叙述），则可以展成傅立叶级数： ( ) 0 1 cos sin k k k k k f x a a x b x l l = = + + ( ) ( ) 1 cos 1 sin l k l k l k l k a f d l l k b f d l l − − = = ( ) ( ) 2 =0 1 0 k k k = 其中
【讨论】 ①若f心)为奇函数，显然=0,M0,则： 心-24经x4=m ②若fx)为偶函数，显然b=0,则： =a+2m4后创o气城 可见，奇函数或偶函数的傅氏展开要比一般函数简 单得多.在解题时，可先画出周期函数的图形，判断 函数的奇偶性后，再进行展开」 10
1010 【讨论】 ① 若f (x)为奇函数，显然a0=0，ak=0，则： ( ) ( ) 0 1 2 sin , sin l k k k k k f x b x b f d l l l = = = ② 若f (x)为偶函数，显然bk=0，则： ( ) ( ) 0 0 1 2 cos , cos l k k k k k k f x a a x a f d l l l = = + = 可见,奇函数或偶函数的傅氏展开要比一般函数简 单得多. 在解题时,可先画出周期函数的图形,判断 函数的奇偶性后,再进行展开