第2章轴向拉伸与压缩29A(2-17a)E=1E=Ab(2-17b)b分别称为纵向应变和横向应变，均为无量纲量。实验结果表明：当杆件轴向伸长时，与轴线垂直的横向尺寸将相应缩短：轴向缩短时，横向伸长。在弹性范围内，纵向应变e与横向应变ε之间满足如下关系：e'=-Ve(2-18)式中，v称为横向变形系数或泊松比（Poisson'sratio）。它是一个材料弹性常数，无量纲量，可从有关手册中查得。应该注意的是，式(2-17)只对杆长1范围内沿轴向均匀变形的情况成立。当杆件承受沿轴向变化的分布载荷作用时，或弹性模量、横截面面积等沿轴m"向变化时，其变形沿轴向不再均勾。若变形沿轴向分段均匀，则可分段应用式(2-17)：否则，需通过选取微段进行变marn形分析得到应变。如图2-23所示，设x处截面m-m变形后(a)相对左端的位移为1(x）【即原长为x的左侧部分杆变形后的nh长度为l(x)]，则x+dx处截面n-n变形后相对左端的位移为.(x)I(x) + d/l(x)+dl，即原长为dx的微段变形后的长度为dl，于是x处的纵向应变为mdx'n(b)dl=(2-19)图2-23杆件任意微段的变形dx该方程也称为几何方程。对于均匀变形，1(x）为线性函数，因而ε为常数，可由式(2-17a）直接确定。式(2-17a、b)也是几何方程。轴力引起的变形计算2.4节中已经指出，在弹性范围内应力与应变之间满足胡克定律：C=E-E对于均匀变形的等截面直杆，将几何方程式（2-17a）和应力计算公式（2-2)代入上述胡克定律，可得拉压时的轴向伸长（即纵向变形）为N=FNI(2-20)EA式(2-20)表明：杆件拉压时的轴向伸长N与轴力F和杆件原长1成正比，与杆件横截面面积A成反比。式(2-20)是胡克定律的又一表达形式，其中的EA称为杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗拉或压的能力。EA越大，杆件的变形越小，即抵抗拉（压）变形的能力越强。应用式(2-20)时需注意，在杆长1范围内，轴力FN、弹性模量E和横截面面积A均要求为常量。若FN、A和E均为沿轴向的分段常值函数，则可分段应用式(2-20)：若三个量其中之一为连续变化的函数，则需取微段进行分析计算，或将式(2-19)和应力计算公式(2-2)代入胡克定律，得Fn(x)dxd/=,(2-21)E(x)A(x)将式（2-21)沿杆全长积分，得杆的轴向伸长为[dl ='FN(x)dxN/=/(2-22)JoE(x)A(x)
30|材料力学I例题2-6试求例题2-2中变截面直杆ABC的轴向伸长。设In=lBc=0.6m，E=200GPa。分析：由于轴力和横截面面积均为沿轴向的分段常值函数，所以可分段应用式(2-20)求得变形。解：1）求杆的轴力由例题2-2可知：AB段的轴力FNAB=FNI=-30kNBC段的轴力FNBC=FN2=20kN2）求杆ABC的伸长量对AB段、BC段杆分段应用式(2-20)计算轴向伸长量：FNAB'AB(-30×103)×0.6AB-0.13mmEAAR200×10°××0.032Y(20×10*)×0.6FNAC'BCN/Bcm=0.19mmEABC元200×10°×x0.0224则杆的总伸长量为=NAR+NBc=-0.13+0.19=0.06mm例题2-7等截面直杆AB如例题图2-7(a)所示，已知杆长YALl，截面面积A，单位体积重量材料的弹性模量E，试求杆AB由于自重引起的轴向伸长。+9FN分析：杆受沿长度方向均匀分布的重力，其集度为yA。由于轴力FN沿杆长连续变化，所以需应用式(2-22)计算轴向伸长。解：FN(b)(c)(a)1）求任意横截面的轴力例题图2-7以距自由端B为x的横截面截取杆并取下侧部分为研究对象，如例题图2-7(b)所示，由平衡方程得Fn(x)=Ax由上式可知，杆AB的轴力沿杆长线性分布，轴力图如例题图2-7(c)所示。2）求杆AB的轴向伸长由式(2-22)得杆AB的轴向伸长量为"Axdx_?"Fn(x)dxN=EAEA2E
第2章轴向拉伸与压缩131例题2-8简易悬臂式吊车如例题图2-8(a)所示，吊车的三角架是由铰链B、C和杆AB、AC连接而成，斜杆AB的横截面面积A=9.6×10-4m2，水平杆AC的横截面面积A,=25.48×10-m。杆AB、AC材料相同，E=200GPa，试求当点A处起吊G=57.5kN的重物时，节点A的位移。BG1FNI4294arFN2G(b)(a)(c)例题图2-8分析：在重物G作用下，杆AB和杆AC将分别发生变形，节点A的位移是由杆AB，AC变形引起的，根据变形后两杆件仍铰在一起，与BC构成三角形，可以确定变形后点4发生的位移。解：1）计算杆AB、杆AC的变形节点A的受力如例题图2-8（b）所示，设杆AB轴力为FNI（拉），杆AC轴力为FN2（压），应用节点A的平衡方程，得G=2G=115kN（拉）EF,=0,Fn,sinα-G=0,Fni=sinαGEF.=0,=173G=100kN（压）FN2-FNICOSα=O,FN2=FNICOSα=tanαnC=0.5，即α=30°其中，sinα=LAB杆AB受拉，产生拉伸变形，其伸长量△/为115×10×4FNIAR4=200×10°×9.6x10-m=2.4mmEA,杆AC受压，产生压缩变形，其收缩量A/2为100×10×4c0s30FN2'AC.-N, =200×10×25.48x10-m=0.68mmEA2）求节点A的位移假想将杆AB和AC在节点A处拆开，并保持在原位置上，由各自轴力作用下发生拉伸变形A/,和压缩变形A/2后变为BA及CA2，如例题图2-8(c)所示。分别以点B和点C为圆心，以两杆变形后长度BA和CA2为半径作两圆弧，则两弧交点A，即为杆件变形后点A的新位置，由此可得点A的位移。上述方法虽然可得节点A位移的精确数值，但计算复杂。考虑到杆件的变形A/，和A/2均十分微小，故可分别过点A，和点A2作杆BA，和杆CA2的垂线，代替上述圆弧线AiA和A2As，如例题图2-8（c)所示。将两垂线的交点A近似地视为节点A变形后的位置
32丨材料力学I分析变形几何关系，如例题图2-8(c)所示，可得点A的水平位移：x=AA,=N/,=0.68mm(+)A点的铅垂位移：2.4Ax=A'4=4A_44,+AA_,+N/cos_0.68=5.98mm（+)tan30°sin30°tanαtanαtanα讨论：该题在计算点A的位移时，利用了垂线代替弧线，这仅在小变形下成立，感兴趣的读者可以利用微积分中的泰勒展开知识进行严格的证明（习题1-5）。另外，作位移关系图（例题图2-8(c)）时，请注意杆件的变形应与该杆轴力的拉压性质一致。2.7简单拉压超静定问题2.7.1超静定的概念及解法静定与超静定前面所讨论的杆件，其轴力（或约束反力）可由相应的静力平衡方程直接求得，因为未知量的个数恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图2-24(a)中的约束反力，图2-24(b)中杆1、杆2的轴力均可直接由静力平衡方程求得，属于静定问题。FR.[FRA(b)(c)()(a)(d)(e)图2-24拉压杆件的静定和超静定间题在实际工程中，为了提高构件的强度和刚度，或为了构造上的需要，会适当增加约束。例如，在图2-24(a)所示杆的自由端增加刚性约束，如图2-24(c)所示：或在图2-24(b)所示的结构中增加弹性杆3，如图2-24(f)所示。这种约束称为多余约束，其相应的约束反力为多余约束力。多余约束会使构件未知约束反力数目增加，多于独立的平衡方程数目，因此不能仅凭静力平衡方程求解所有未知力。这类问题称为超静定问题（staticallyindeterminateproblem），相应的结构称为超静定结构（staticallyindeterminatestructure）。未知力数目与独立的平衡方程数目之差，即多余约束力数目，称为超静定次数。如图2-24(c)和图2-24(e)所示的超静定问题，其受力分别如图2-24(d)和图2-24()所示，均为一次超静定问题
第2章轴向拉伸与压缩133超静定问题的求解方法由于超静定问题的未知力数目多于独立的平衡方程数目，因此若想求解全部未知力，势必要建立与超静定次数相同的补充方程。对于超静定结构，由于多余约束的限制，各杆受力后不能随意变形，必须与所受约束相适应，因此各杆之间的变形必须相互协调，保持一定的变形几何关系，该几何关系式称为变形协调方程（compatibilityequation）（也称为变形几何方程）。将补充的变形协调方程和静力平衡方程联立求解，就可以解得全部未知力。下面以图2-24(c)所示的一次超静定问题为例，介绍简单超静定问题的求解方法，其中设杆件的几何尺寸1、α、b和抗拉刚度EA均已知。解法一：(1）静力平衡关系杆件受力如图2-24(d)所示，由仅有的一个独立平衡方程ZF,=0，得FRA+FRB-F=0(a)该方程有两个未知力FRA和FRB，无法求解，还需建立一个补充方程。(2）变形协调关系由于两端约束的存在，杆件受力变形后，其总长度不发生变化，这就意味着AC段的伸长量A/，与BC段的压缩量/2相等，由此可得变形协调方程：(b)=/2(3）内力-变形关系由变形与轴力的关系式(2-20)，得FRAaFRB-bN=A, =(c)EAEA将式(c)代入式(b)，可得FRAa_FRB-b(d)EAEA联立式(a)和式(d)求解得两端约束反力FRA和FRB为bFRB==FFu-p,1结果为正号，说明图2-24(d)所示的F和FRB的指向即为杆件受力的真实方向。求得约束反力后，即可进行轴力、应力、强度等的计算。上述求解超静定问题的方法，以约束反力为未知量进行求解，称为力法。同样的问题也可以以位移为未知量进行求解，称为位移法。解法二：设载荷F作用的截面发生向下的位移△。（1）变形协调关系由于杆件受力变形后总长度不发生变化，所以AC段伸长A/，BC段缩短△1。(2）内力-变形关系由变形与轴力的关系式(2-20)得A和B两端的约束反力（如图2-24(d)所示）分别为EA·NEA·NIFRAFRB(a)ba(3）静力平衡关系由平衡方程ZF,=0，得FRA+FRB-F=0(b)