4材料力学I1.3外力、内力和应力外力当对某一构件进行分析时，一般设想将该构件从周围物体中单独取出，并用力的形式表达周围物体对构件的作用，这些来自构件以外的力就称为外力（externalforce），包括载荷（主动力）和约束反力，可以是力或力偶。按作用方式，外力分为体积力（bodyforce）和表面力（surfaceforce）。体积力是连续分布于物体内部各点的力，如物体的重力、惯性力等。表面力是作用在物体表面的力，本质上是连续作用于物体表面某区域的分布力，如作用于水下物体表面上水的压力、积雪对屋顶的压力等，单位为N/m。也可以是连续分布作用于杆件轴线上某范围的分布力，如楼板对支撑梁的作用力等，单位为N/m。当分布力的作用面积远小于物体表面的尺寸，或沿杆件轴线作用的范围远小于轴线长度时，可以近似用其合力代替，从而将其看做是作用于一点的集中力，如车轮对路面的压力等。按是否随时间变化，可将载荷分为静载荷（staticload）和动载荷（dynamicload）。严格意义上说，不随时间变化的载荷即为静载荷：随时间变化的载荷则为动载荷。但在材料力学分析中，虽然随时间变化，但变化极其缓慢，以至于产生的惯性力可以忽略不计的载荷也被当做静载荷处理。例如，将机器缓慢安放在基础上时，由于加速度很小，机器对基础的作用力可看做静载荷。若载荷使构件内质点产生的惯性力不可忽略，则必须当做动载荷。例如，随时间做周期变化的振动或波动载荷，物体运动在瞬间发生突然变化产生的冲击载荷。静载荷与动载荷对构件的力学性能将产生不同影响，因此在分析方法上也有所不同。而构件在随时间做周期变化的交变载荷作用下的疲劳问题（惯性力通常被忽略）则又有完全不同的分析方法。内力及其求解方法—截面法物体受外力作用后发生变形，其内部各点之间将发生相对位移，从而各点之间将产生相互牵拉或挤压，即发生相互作用，称为内力（internalforce）。显然，这种内力是因外力作用而产生的，因此是在物体无外力作用时各质点间相互作用力以外的附加部分，与外力有着直接的联系，随外力的增加而增大，达到一定值后就可能引起构件破坏，所以与构件的强度密切相关。为了分析构件的内力，假想用平截面m-m将构件切开分为1、11两部分，如图1-4(a)所示。取I作为分析对象，为了平衡外力，切开的截面上必然存在ⅡI对I的作用力，如图1-4(b)所示。根据作用力与反作用力定律，I必然也以大小相等、方向相反的力作用于Ⅱ上。这种I和Ⅱ之间的相互作用力就是构件在截面m-m上的内力，显然这是一个分布于整个截面上的分布力系。在材料力学中将该分布力系向截面某点（通常为截面形心）简化得到一个力和一个力偶，称为截面的内力，如图1-4(c)所示。其中力等于分布力系的主失，力偶等于分布力系对简化中心的主矩。选取I或ⅡI上任意一部分进行平衡分析都可确定该截面上的内力，这就是求解内力的截面法。FFi取截面F内力合力m分开物体FiF3FRFFXM显示内力F,FF切开物体内力主矩(b)(a)(c)图1-4截面法求内力
第1章绪论丨5截面法是分析内力的基本方法，后续各章中将经常用到，这里将其步骤可以归纳如下。(1）截取对象，在待求内力的截面处假想以该截面将构件切开为两部分，如图1-4(a)、(b)所示。选择其中的任意一部分为研究对象，弃掉另一部分。（2）画受力图对留下的部分进行受力分析，画受力图，包括已知外力和截面上的未知内力。为了方便，通常将内力矢量沿着截面的法线和切线方向进行分解，将内力分量示于图中。一般情况下，截面内力包括沿截面法向的轴力FN、沿截面切向的剪力Fs，以及扭矩T和弯矩M，如图1-5所示。(3）平衡分析针对所选取的研究对象建立平衡方程，求解未知内力。对各种载荷作用下不同变形构件的内力计算将在后续各章节中详细讨论。剪力扭矩内力合力F.FRFNM轴力弯矩内力主矩(a)(b)图1-5内力的分解应力由截面法求得的内力反映的是截面上分布力系的合成效应，它仅表明内力与外力的平衡关系，而没有表现出截面上某一点处受力的强弱程度。而经验告诉我们，外力导致的构件破坏往往从个别点开始，如弯折一根木杆，断裂通常从外侧一点开始，所以截面上一点的受力强弱对强度分析很重要，应该引入一个表示一点受力特征的力学概念。为此，我们定义如下某截面上内力集度的概念。如图1-6(a)所示，在受力构件的某截面m-m上任取一点C，围绕该点取微小面积AA，假设A上分布内力的合力为△FR，其大小和方向与C点的位置有关。定义△A范围内单位面积上内力的平均集度为AFRPa=A式中，P为矢量，其方向与△FR致。称p.为△A上的平均应力，其大小和方向均可能随着△A的逐渐缩小而改变。当△A趋于零时，P将逐渐趋近一极限为AFR(1-1)P=lim Pa=limlimoM称其为点C的应力（stress），是分布内力在点C的集度，反映了内力在点C的强弱程度。材料的强度分析主要是对应力进行计算。p也是一个失量，为了计算方便，通常将应力p分解为沿截面法向的分量α（称为正应力（normalstress））和沿截面切向的分量（称为切应力（shearstress）），如图1-6(b)所示。在国际标准单位制（SI）中，应力的基本单位为Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m：应力计算中长度单位常用mm，应力单位常用MPa（兆帕），1MPa=1N/mm2=10°Pa。AFRFC.AF(a)(b)图1-6应力
6材料力学I值得指出的是，应力P（或、T）是一个与内力不同的矢量，它还取决于过该点所截取的截面。如果截面不同，即使内力不变，由式(1-1)定义的应力p也不同。如图1-7所示，过同样一点C分别以横截面m-m和斜截面m-m将杆件截开，根据截面法易知，两个截面上的内力F是一样的。但由式(1-1)计算得到的点C两个截面上的应力P显然是不同的。可见，一点的应力与过该点的截面选取密切相关。若记截面的法向为n，两个正交的切向为和，则在连续变形体力学中常将正应力分量记为Gnn，将两个切向的切应力分量分别记为t和t.，。注意，该记法中下标的第一个量表示截面法向，第二个量表示应力分量的方向。为了简洁，正应力通常简记为Sn。mm图1-7过同一点的不同截面当知道了过一点所有截面上的应力即应力状态时，我们便确定了该点的受力状况。后面的分析证明，过一点任一截面上的应力可由过该点任意三个截面上的应力确定。通常，取三个截面分别平行于直角坐标系xyz（或其他正交坐标系）的三个坐标平面，则其上的应力分量分别记为（o，Tay，Te：5xy,Tye；TxTy,o）。其他任意截面上的应力均可由这组应力分量表示，所以这组应力分量可以表征一点的应力状态。通常的做法是在该点取一无限小的长方体，称为单元O体（element），在各面上标示上述各应力分量，代表该点C的应力状态，如图1-8所示。关于应力状态的进一步描述见本书第7章。最后顺便指出，在给出应力的定义式（1-1）时，我们只考虑了合力，而没有考虑合力偶。这是因为当△A→0时，4A上内力的极限状态将是一个力，而不存在力偶。lo变形和应变1.4图1-8一点的应力状态变形物体受力发生变形是材料力学关注的主要内容。根据均匀连续性假设，如果知道了物体内各点扣除刚体位移以后的位移，也就确定了物体的宏观变形。材料力学中关心的位移就是指完全由变形产生的位移。AABBF然而，位移并不方便表征物体内一点的变形特征。如ual ul图1-9所示，一端固定的杆在力F的作用下伸长，其上临图1-9相邻两点的位移关系近的两点A和B分别移动到A和B。若记点A产生的位移为uA，点B产生的位移为UB，则有UB=UA+（AB-AB)，其中AB'-AB（记为△uAB）正是由AB的变形（伸长）引起的。可见点B的位移包含了点A的位移，并不能表征点B的变形特征。同样，点A的位移也包含了它前面临近点的位移，不能表征点A的变形特征。AuAB是AB的总伸长量，显然与AB的原长（设为4x）有关。当4x很小时，AB的变形（伸长）近似均匀，所以AuAB/Ax是表征该临近微小区域变形特征的适当参量。材料力学（包括其他连续变形体力学）中正是沿用这样的思路，通过在一点附近选取一微小的区域，如边长分别为Axr、Ay、△z的微小单元体，并仿照AuAB/Ar定义应变（strain），来描述物体中任意一点的变形特征
论17第1章绪在得到物体中每一点的局部变形后，通过求积分就可以获得物体整体的变形。应变如图1-10(a)所示，在物体内任一点M邻域取一边长分别为Ar、Ay、△z的微元体，当边长趋于无限小时，它就代表了点M。该微元体的变形主要表现为两类：边长的改变和角度的改变，如图1-10(b)和(c)所示的xy投影平面的情况。这两类基本的变形合成了微元体更复杂的变形。为了定量表征这两种基本变形，分别定义了如下正应变和切应变。5AM1.N华AxAluAxMAx(a)(b)(d)(c)图1-10微元体的变形1.正应变（线应变）如图1-10(b)所示，设微元体变形后x、y轴方向的边长改变量分别为△u、Av，则定义改变量与原长的比值为对应边的平均正应变（normalstrain），也称线应变（linearstrain），以e表示，即uAvEaxEsyArAy类似地，也可以定义z方向的平均正应变或线应变，即AwEa.Az式中，△w为变形后z轴方向的边长改变量。当边长无限小时，由以上各式取极限得AuAvAwe,=lime, = limE,=lim(1-2)Ar-0Ar4-0Ay420Az式中，&、&、e分别称为点M沿x、y、z方向的正应变或线应变。实际上，若在构件内任取一段微小线段MN=△s，变形后的长度为MN，如图1-10(d)所示，则都可类似地定义该线段沿MN方向（记为s方向）的线应变为MN_MNAu,e,=lim=lim(1-3)MN40A5MN-→02，切应变（剪应变）微元体两条相互正交的边所夹直角的改变量，称为点在这两条边所在平面内的切应变或剪应变（shearstrain）。如图1-10(c)所示，点M两侧的边由变形前的直角元/2，变成了锐角，夹角的改变量为+。该改变量即为点M在xy平面内的切应变或剪应变，表示为%y，通常用弧度来度量。在变形很小的情况下，夹角和的弧度值近似等于各自的正切值，于是有Avuy=×+2=lim(1-4)AxAyAx.Ay-→0l同样，可定义点M在yz平面和zx平面内的切应变z和x
8材料力学I线应变ε和切应变是描述变形构件内一点处变形的两个基本力学量，表示一点的局部变形，它们都是无量纲的量。物体的整体变形是物体内所有各点变形的累加。材料力学所研究的问题一般限于小变形情况，即变形和由变形引起的位移很小，远远小于构件的儿何尺寸，所以在分析平衡和变形等问题时，可以按构件的原始尺寸和形状进行计算。可以证明，对于微小的应变和位移，其平方、乘积等与其一次方相比可以作为高阶小量忽略。应变是连续变形体力学中一个十分重要的、用来定量描述一点变形特征的量。在直角坐标系中可用（&，Ky，e：x，E，Be：Yx，%y，e）这样一组分量表示一点的应变状态。顺便指出，描述一点受力状况的应力（包括所有分量）和描述一点变形特征的应变（包括所有分量）既不是一个标量，也不是一个矢量，在数学上称为张量（tensor）。更加系统的关于应力和应变的理论将在弹性力学中学习。1.5应力与应变的关系仅凭直观的想象就不难得知，单元体上作用的应力（如图1-8所示）必然导致单元体的变形，也就是说，一点的应力将产生该点的应变，因此应力和应变之间存在着一种必然的联系。如图1-11（a）所示，单元体在单向正应力α作用下显然将伸长，但仍保持为长方体，即相邻边之间的角度仍为直角，所以只产生线应变e而没有切应变：再如图1-11(b）所示，单元体在切应力t作用下，两个相互平行的面只发生相对错动，间距没有变化，所以只存在切应变如果知道了物体内任一点的应力和应变关系，也就确定了物体在外力作用下产生的变形。可见这种一点的应力一应变关系是变形体力学的核心。这种关系也称为物理方程，是一种本构关系（constitutiverelation），它描述了物质的力学本质特性，与物体的几何形状和所受的载荷情况没有关系。尽管从理论上说，依据原子或分子之间相互作用理论的计算可以获得应力一应变关系，但实际材料的内部结构要复杂得多，所以为了工程应用，应力-应变关系通常要由按一定规范设计的实验来确定。这将在本书第2、3章做一些初步的介绍，系统的知识将在固体实验力学中学习。大量的材料力学实验表明，当应力不超过一定极限时，应力与应变之间的关系成正比关系，如对应图1-11(a）和(b）所示的情况，有(1-5)Q=Ee,T=Gy式中，比例常数E和G分别称为材料的拉压弹性模量（modulusofelasticity）「杨氏模量（Young'smodulus）]和剪切弹性模量[简称剪切模量（shearmodulus）]，它们的值由实验测定，反映了材料的不同力学性能：它们的单位与应力相同。式（1-5）的两个关系式分别称为拉压胡克定律和剪切胡克定律。一般情况下的胡克定律将在第7章中介绍。符合这类应力-应变关系的材料称为线弹性材料。更广泛的本构关系除了应力与应变的关系以外，还包括热、电、磁、光等物理、化学，甚至生命场与力场之间的相互作用。如众所周知的热胀冷缩就是指热引起变形，温度变化与应变之间的关系便是定量描述这种现象的本构关系。关于本构关系的研究形成了变形体力学的基本内容之一。(b)(a)图1-11单元体受单向拉伸和纯剪切