例2:用向量的数量积,证明恒等式 a+b2+|a-b2=2|a2+2|b 即平行四边形对角线的平方和=四边的平方和 iE: a+b+la-b=(a+b)(a+b)+(a-b)(a-b a·a+2ab+bb+a·a-2ab+bb=2|a2+2b2 例3:用向量证明余弦定理 证:在△ABC中, I BC=AC -AB=(AC-ABAC-AB ACAC-2AC·AB+AB·AB =AC|-2|AC‖AB|cos∠A+|AB 哈工大数学系代数与几何教研室
例2：用向量的数量积，证明恒等式 即平行四边形对角线的平方和=四边的平方和. 证： 例3：用向量证明余弦定理 证：在 中， 2 2 2 2 | | | | 2 | | 2 | | a b a b a b + + − = + 2 2 | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b + + − = + + + − − 2 2 = + + + − + = + a a a b b b a a a b b b a b 2 2 2 | | 2 | | ABC 2 2 | | | | ( )( ) BC AC AB AC AB AC AB = − = − − = − + ACAC AC AB AB AB 2 2 = − + | | 2 | || | cos | | AC AC AB A AB
例4:已知|a=3,|b=6,屿与b的夹角为x,且向 量3a-4b与a+2b垂直,求λ的值. 解::(3n-Ab)⊥(a+2b),:(3a-b)(a+2b)=0即 (3a-Ab)(a+2b)=3·a+6a·b-Aa.b-2bb 3|a2+(6-4)a·b-22|b2 3|a12+(6-4)|a||bcos-24|b1 3×9+(6-)×3×6×-2×36=81-81=0 =1 哈工大数学系代数与几何教研室
例4：已知 与 的夹角为 ，且向 量 与 垂直，求 的值. 解： . 即 | | 3, | | 6, a b a = = b 3 3a b − a b + 2 (3 ) ( 2 ), (3 ) ( 2 ) 0 a b a b a b a b − ⊥ + − + = (3 ) ( 2 ) 3 6 2 a b a b a a a b a b b b − + = + − − 2 2 = + − − 3| | (6 ) 2 | | a a b b 2 2 3 | | (6 ) | | | | cos 2 | | 3 = + − − a a b b 1 3 9 (6 ) 3 6 2 36 81 81 0 2 = + − − = − = = 1
3.23几何向量的向量积(叉积、外积) 下面介绍向量与向量的另一种乘法 物理背景:由力学知,力F关于定点O的力矩是 个向量M,它的模=力的大小力臂,即 MHF‖OQHF‖lp|sinb 但是仅知力矩的大小,不了解它的方向,就不知道 物体如何转动,规定力矩的方向M⊥o且M与@、F 构成右手系,即右手四指从@方向握向的F方向时, 大姆指的方向就是力矩的方向,(M为转动轴), 抽去物理意义,引出向量积的定义。 哈工大数学系代数与几何教研室
3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积） 下面介绍向量与向量的另一种乘法。 物理背景：由力学知，力 关于定点 的力矩是 一个向量 ，它的模=力的大小力臂，即： 但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道 物体如何转动，规定力矩的方向 且 与 构成右手系，即右手四指从 方向握向的 方向时， 大姆指的方向就是力矩的方向，（ 为转动轴）， 抽去物理意义，引出向量积的定义。 F O M | | | || | | || | sin M F OQ F op = = M op ⊥ M op F 、 op F M
1.定义(向量积)向量a与b的向量积是一个 向量,记为C,则它满足: (1)cla‖b|sin(a,b); (2)C⊥a,c⊥b,(c⊥a,b决定的平面 (3)依ab,c的顺序成右手系;记作: C=a×b 2.几何意义:a,b都非零且不共线,caxb以a,b 为邻边的平行四边形的面积 哈工大数学系代数与几何教研室
1．定义（向量积）向量 与 的向量积是一个 向量，记为 ，则它满足： （1） ； （2） 决定的平面 ； （3）依 的顺序成右手系； 记作： 2．几何意义： 都非零且不共线， 以 为邻边的平行四边形的面积. a b c | | | || | sin( , ) c a b a b = c a c b c a b ⊥ ⊥ ⊥ , , ( , ) a b c , , c a b = a b, | | | | c a b == a b
3.性质: (1)a×a=0,(a× a= sin(a,a)= a sin6=0); (2)axb=0÷a=0b=0或a∥b(a≠0,b≠00=0或); (3)反交换律(反对称性):axb=-b×a(交换律 不成立); (4)分配律:(a+b)×c=axc+bxc; c×(a+b)=c×a+c×b (5)结合律(ka)×xb=ax(kb)=k(axb 哈工大数学系代数与几何教研室
3．性质： （1） ； （2） 或 或 )； （3）反交换律（反对称性）： （交换律 不成立）； （4）分配律： ； ； （5）结合律 ； 2 a a a a a a a a a = = = = 0, ( | | | || | sin( , ) | | sin 0) a b a b = = = 0 0, 0 a b a b // ,( 0, 0, 0 = a b b a = − ( ) a b c a c b c + = + c a b c a c b + = + ( ) ( ) ( ) ( ) k k k a b a b a b = =