1.向量的夹角:设有a≠0.b≠0,将ab的起点放 在一起,它们所夹的角θ=(a,b)(0≤0≤x)称为向量的 夹角,记θ=ab 注:零向量与另一向量的夹角可以在0到z间任 意取值 同样:向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的 正向间不超过x的夹角 点的投影:若A为空间中一点,L为一轴,通 过A点作垂直于u轴的平面x⊥u,则丌与轴的 交点A为在轴l上的投影(一个点) 哈工大数学系代数与几何教研室
2．点的投影：若 为空间中一点， 为一轴，通 过 点作垂直于 轴的平面 ，则 与轴 的 交点 为在轴 上的投影（一个点）. 1．向量的夹角：设有 ，将 的起点放 在一起，它们所夹的角 称为向量的 夹角，记 . 注：零向量与另一向量的夹角可以在0到 间任 意取值. 同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的 正向间不超过 的夹角. a b 0, 0 a b, = ( , ) a b (0 ) = a b, A u A u ⊥u u A u
3.向量的投影:设有向量AB,A1A,B载→B则 轴上的有向线段B的值为AB'(数量,AB与同向为 正数,AB与反向为负数),AB称为向量A在轴l 上的投影,记作P.AB=AB 哈工大数学系代数与几何教研室
3．向量的投影：设有向量 , , 则 轴 上的有向线段 的值为 （数量， 向为 正数， 向为负数） ， 称为向量 在轴 上的投影，记作
定理3.1向量AB在轴u上的投影=向量的模乘以向 量与轴夹角的余弦,即:PAB=AB|cos 证:过点引轴且同向,,且有 当与成锐角时,投影为正;钝角时,投影为负 直角时,投影为0. 定理32两个向量的和在某轴上的投影=投影之和 即:P(a+b)=Pa+Pb 此定理可推广:P(a+a2+…+a)=Pa1+Pa2+…+Pa 哈工大数学系代数与几何教研室
定理3.1 向量 在轴 上的投影=向量的模乘以向 量与轴夹角的余弦，即： . 证：过点引轴且同向，，且有. 当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负； 直角时，投影为0. 定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影=投影之和. 即： . 此定理可推广： . AB u P | | cos r u AB AB = P ( ) P P r r r u u u a b a b + = +P ( ) P P P r 1 2 r 1 r 2 r u u u u + + + = + + + n n a a a a a a
3.22几何向量的数量积(点积、内 积、标积) 物理背景:一物体在常力F的作用下,沿直线 运动产生的位移为S时,则力F所做的功是 W=F|cosO.|SHF‖S|cosO抽去物理意义,就是 两个向量确定一个数的运算 1.定义(数量积),ab=a‖b|cos(a,b)=a|Pb=b|Pa. 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投 哈工大数学系代数与几何教研室
3.2.2 几何向量的数量积（点积、内 积、标积） 物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线 运动产生的位移为 时，则力 所做的功是: 抽去物理意义，就是 两个向量确定一个数的运算. 1．定义（数量积）， . 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投 影. F S F W F S F S = = | | cos | | | || | cos b r r = = = | || | cos( , ) | | P | | P a a b a b a b a b b a
2.性质:(1)a⊥b◇→a·b=0规定0⊥Va; (2)a.a=ap? cos=al2, lak=vaa 交换律:(3)a.b=b,a 分配律:(4)(a+b)c=a·c+bc; 结合律:(5)A(·b)=(a)·b=a·(4b) ·a)(mb)=m(a.b 3.注:(1)称为数量积是因结果是个数 (2)ab=0并不见得m中必有0向量,ab 也可 (3)ab·c无意义 (4)数量积不满足消去律即ab=ac,a0b= 事实上,所以 哈工大数学系代数与几何教研室
2．性质：（1） 规定 ； （2） ； 交换律：（3） ； 分配律：（4） ； 结合律：（5） a b a b ⊥ = 0 0 ⊥ a 2 2 a a a a a a a = = = | | cos | | , | | a b b a = ( ) a b c a c b c + = + ( ) ( ) ( ) a b a b a b = = ( ) ( ) ( ) = a b a b m m 3．注：（1）称为数量积是因结果是个数. （2） 并不见得 中必有 向量， 也可. （3） 无意义. （4）数量积不满足消去律即 事实上，所以. a b = 0 ab 0 a b ⊥ a b c a b a c a b c = = , 0