8关才的时代天，60进制还仍然在被使用一一但仅仅在测量角的大小时会用到度、分（1/60度）和秒（1/60分），以及在表示时间的时候会用1小时60分钟和1分钟60秒。《关于平面图形以及形体的测量》是这部著作的第四卷。在只使用直尺和圆规的情况下，他在此给出了5种不同的方法，用来估算建筑物的拱、拱顶以及穹降（即圆顶（qubba））的面积以及体积。精致的阿拉伯建筑往往需要在其平整或套曲的表面涂上灰泥、油漆或颜料，或者会贴上金箱，有时还会根据覆盖的金箱的体积来决定征税的数额。阿尔-卡西设计了一套方法将复杂的三维表面投影到二维平面上，通过基本的二维图形来确定其原始的面积和体积。其中最为棘手的结构是一种钟乳石状的壁（muqarnas），它们会以不同的附着形态从墙上、柱子上或者天花板上垂下来。阿尔一卡西将这种壁区分为四类，并系统的阐述了得到其表面积和体积的方法。这部长篇著作的最后一卷的书名是《关于使用代数方法以及双设法解决问题》。在这一部分单，阿尔一卡西阐述了求解线性和二次方程以及方程组的方法。他还解释了如何使用当时流行的双设法L译者注：双设法（twofalseassumptions或double-falseposition），在阿拉伯曾被称为“契丹算法”（Elchataym）。有人认为这种方法是从中国传过去的，它来源于《九章算术》中的“盈不足术”，其基本方法是先求出两个近似解，然后通过题目条件得到近似解的偏差量，进而得到正确的解。本质上类似于后来的线性内插法。来求解各种问题。他声称自已给出了70种具有不同形式的正系数四次方程，比如ar十dr十e=r十cr等等，并对于每种形式都提供了相应的方法来确定出两个圆、抛物线或者双曲线，使得它们的交点对应于该种类型的四次方程的一个正根。虽然在他并没有完成他的预想计划，但其著作中留下的简短讨论仍然标志着，他是第一个系统地尝试通过构造几何曲线的方法来得到四次代数方程的解的人。估算sin（1）的值阿尔-卡西于1429年6月22日在撒马尔罕去世，而当时他的最后一篇数学论文题目为《论弦与正弦》（Risalaal-watarwa'l-jaib），并没有写完。他在天文台的一位同事、卡迪·扎达·阿尔-鲁米（QadiZadeal-Rami）在他死后不久继续完成了这部著作。在这篇论文中，阿尔-卡西使用了一种送代的方法算得了sin（1）的值一-个10位的60进制小数0：1，2，49，43，11，14，44，16，20，17，它也可以表
吉亚斯丁·阿尔-卡西91+24943+11+14+44+16+20+7示为分数和：60+602+60+60%+60+606+60+608+60%+6010他同时还给出了相应的十进制的小数值一一近似到了小数点后的18位：0.017452406437283571。4r3阿尔卡西发现，=60sin（1°)）是方程60sin（3）=3一的解。而通过传60统的三角公式可以算得具有足够精确度的sin（3°）的值，从而得到一一个60进制的解：1=47.6：8.29,53.37.3.45十。考虑到=60sin(1°）接近于1,阿尔卡西45,0将=1带人方程的右边，得到了一个近似结果1=1:2=1+。将这个值替换60°到原来的方程中去，他得到了一个更好的近似值=1 2.49=1+品+%。他将这种送代的过程进行了9次，每一一次都伴随着更庞天的计算上的困难，他最终获得了1=60sin（1）的10位的60进制小数的近似值，并进而得到相应的sin（1°）的十进制和60进制近似值。具备精确进行天文计算的能力，要有精准详尽的三角函数表作为保障。而在三角函数表里，sin（1°）的值显得最为关键。因为其他大大小小的角度的正弦都是通过它来计算的。在阿尔一卡西去世以后，元鲁伯利用阿尔-卡西算得的sin（1）的值制作了一套详细到每分的正弦以及正切函数表，表中的数值都精确到了5位60进制小数。他将这部数表附进了他编的《苏丹天文表》（Zij-iSulatani）中-一它是基于撒马尔天文台的学者们的研究，对阿尔一卡西的《哈加尼天文表》进行扩充后的版本。阿尔-卡西的数学方法的精致与简练，以及运用它所达到的精确结果，使得一些数学评论家把他的研究结果当作是中世纪代数学的最伟天的成就。他所采用的送代的运算方法，领先于欧洲的所有类似技术，它所保持的纪录直至19世纪才被超越。司时，阿尔一卡西为了确定弦（即以圆周上两点为端点的线段）的长度，还提出了一个公式：对于半径为r的圆，中心角0所对应的弦长为rV2(1一cos）。若把圆心标记为C，线段的两个端点分别为A和B，那么弦长的公式可以被改写成（AB）2=十2·r·r·cos。这个公式恰好可以作为著名的余弦定理的一个特例。余弦定理是说，对于任何一个边长分别为，6和c的三角形，其边长都满足关系：=a十一2·a·b·cos译者注：其中为边长为a和b的边的夹角。]
10天才的时代(AB)=p2+r2-2.r-r.cos(0)阿尔一卡西为计算弦长而得到的公式，恰好是余弦定理的一个特殊形式。而法语国家也把余弦定理称为阿尔一卡西定理。尽管公元前3世纪的希腊数学家欧儿里德在其著作《儿何原本》（Elements）中证明出了其等价的形式，法国的数学家们仍然将余弦定理称作是阿尔一卡西定理。其他著作除了他在数学上的3部主要著作以及早年的5本天文学论著外，阿尔-卡西还有5篇没有标明创作日期的、相对次要的天文学以及计算数学的著作。在《天文表的阿拉伯化》（Ta'ribal-zi）一书中，他对天文表在历代阿拉伯学者的影响下的历史演变和进展进行了编年。他的《如何使用算板和粉笔做乘法》（Wujuhal-‘amalal"darbfi'-takhtwa'l-turab），则解释了使用流行的算板［译者注：即dustboard，大致类似于现在的黑板。因为那时的数学计算过程需要经常对数字进行移动和擦除，所以当时的印度和阿拉伯人都使用粉笔（dust）在这种算板上进行运算，因而阿拉伯数字（Arabicnumeral）也有被称为dustnumeral。进行十进制数的运算的方法，以此来代替使用手指、心算或者沙板算盘。他在《天文表科学中的原因之钥》（Miftahal-asbabfi"ilmal-zij）中闸释了三角函数表和行星表中的数值之间相互依赖的关系。在关于天文仪器的第三本著作《论星盘的构架》（Risaladarsakht-iastulab)中，他解说了如何制造并架设一个星盘这种复杂精密的盘状仪器。利用星
吉亚斯丁·阿尔-卡西11盘，水手旅行家和天文学家可以通过观测地平线和恒星之间的角度，来确定他们所处方位的经纬度。对于穆斯林们来说，他们有着面朝圣城麦加的方向进行日带礼拜的宗教惯例，而他的《论使用一种印度圆盘确定天房的方位角》（Risalafmarifasamtal-qiblamindairahindiyyamarufa）论文，则描述了怎样使用一种印度发明的天文仪器来确定合适的朝拜方向。结语阿尔-卡西把自己评价为一位创造性的数学家，为精确计算发展并且使用了有效的方法。他所提出的估算方法显示出了杰出的洞察力和发达的数学技巧。而他算出的元和sin（1）的近似数值所达到的精确度，远远超出了前人。他成功的论证了十进制小数体系在计算上的优越性，并且发展出了行之有效的方法来估算各种建筑式样的面积和体积。扩展阅读J.J.奥康纳、E.F.罗伯森（O'Connor，J.J.，andE.FRobertson），《吉亚斯丁·贾姆希德·麦斯欧德·阿尔-卡西》，马克·图特尔数学史档案，圣安德鲁斯大学。网址：http：//www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Kashi.html。2005年1月24日访问。在线传记一圣安德鲁斯大学，苏格兰。A.P.尤什凯维奇、B.A，罗森菲尔德（Youschkevitch，A.P.，andB.ARosenfeld)，《阿尔-卡西，吉亚斯丁·贾姆希德·麦斯欧德》，《科学传记辞典》第7卷，查里斯·吉利斯比编，第255一262页。纽约出版社，1972年。详尽的百科全书式传记以及大量文献资料
