吉亚斯丁·阿尔-卡西3出版。他将这本书题献给了苏丹伊斯坎达尔（Iskandar）。这位苏丹是帖木儿王朝的成员，在1414年以前是波斯和伊斯法罕（Isfahan）的统治者。在这本著作中，阿尔一卡西总结了天文学中最常用的理论以及技术。阿尔-卡西最重要的天文学著作是《哈加尼天文表一对伊儿汗天文表的完善》（Zij-iKhaqanifitakmilZij-ilkhani）。他在1413一1414年完成了这部著作，并把它题献给苏丹元鲁伯（UlughBeg），他是河中地区（Transoxiana）的王子，沙哈鲁（ShahRukh）的儿子。正如题目所述，这部著作是对13世纪纳速拉丁·阿尔-图思（Nasiral-Dinal-Tusi)的天文表的修正。这部著作包含了关于历法的历史、数学、球面天文学和几何学的章节。它相当长的引言提供了一套关于确定月球绕地球运行轨道的方法的详细描述。这套方法是建立在他对月食的3次观测，以及公元2世纪希腊天文学家克劳迪斯·托勒密（ClaudiusPtolemy）在其经典者作《天文学大成》（Almagest）中描述的3次类似观测的基础之上。这部著作比较了当时世界上应用的6种历法：回历（Hijra）一穆斯林使用的太阴历：波斯历（Yazdegerd）一一一波斯人使用的太阳历塞琉古历（Seleucid）希腊和叙利亚使用的太阳历：贾拉利历（Maliki）一奥马尔·海亚姆（OmarKhayyam）制定的一套穆斯heTrmdlaryiherr林历法；回历（Uigur）一中国使用的一种历n法；此外还有伊儿汗国使用的历法。这部著作的数学部分提供了从0°180°的精确到分（1/60度）的正弦和正切数值的表格。表中的每个值都用4个60进制的位表示，如0：α，6，c，d，即表示分数品+点+品+d，这是当时6060200%天文学采用的标准记数法。关于球面天文学的部分包括了一组表格，它可以让天文学家精确地跟踪太阳、月亮、行星和恒星在当时被认为是一个大球面的宇审中的位置。其中一部分表格提供了从天球的黄道坐标系到赤道坐标系的转换方法，另外的表格提供了太阳的经向运动、月阿尔一卡西对许多天文仪器的亮和行星的纬向运动、视差和交食以及月相的使用方法进行了说明，包括用来表数据。关于地理学的部分列出了516个城市、示行星以及其他大型天体运行轨山峰、河流和海洋的经纬度。这部著作最后的道的浑天仪
4天才的时代部分列出了最亮的84颗恒星的位置和星等、每颗恒星距地球中心的距离，以及供占星师使用的若干资料。在1416年1月，阿尔-卡西完成了部题献给土库曼王朝苏丹伊斯坎达尔（与前面的那位被题献过的苏丹同名）的关于天文仪器的著作。在这部名为《论观测仪器的说明》（Risaladarsharh-ialat-irasd）的著作中，他描述了6种天文仪器的结构。其中最著名的一种是浑天仪，是一种精妙的三维宇宙模型，用移动和静正的环圈来表示行星的轨道和恒星的位置。他还描述了法赫利六分仪（Fakhrisextant）是一架16圆弧长的用于确定地平线和星的角度的大型固定仪器。他描述的其他仪器还包括三角仪（triquetrum）、赤道环（equinoctialring）、双环（doublering）和浑天仪的几个变种。1416年2月10日，阿尔-卡西完成了他的第五部天文著作《花园游览，一种称为“苍穹盘”的仪器的制造方法》（Nuzhaal-hadaigfikayfiyya sana al-ala al-musammabitabaqal-manatiq）。这部简短的著作描述了“苍穹盘”和“连接盘”（plateofconjunctions），是两种他发明的天文仪器。苍穹盘是一种类似星盘（astrolabe）的仪器，它可以用来测量行星的位置并将其转化为图形格式，以便分析图形的运动。连接盘是一种更简单的仪器，用来进行线性插值。阿尔一卡西在他10年之后的著作《（游览）补遗》（Ilkahatan-Nuzha）中提供了关于这两种仪器的进一步描述。确定元的值1417一1424年，元鲁伯王子在撒马尔罕建立了一所清真寺书院（madrassa，伊斯兰世界中神学和科技的教研机构）和一座天文台，使那里成为了当时中亚地区的学术和科学中心。阿尔-卡西在该书院任教·协助组织了天文台并用精密仪器（包括一座100英尺高的石制法赫利六分仪）将天文台装备起来。在一封给他父亲的信中，阿尔卡西将元鲁伯描述为位精于的科学家：他领导学术讨论，参与评论和总结，并充分参加了由天文台的60位天文学家承担的工作。元鲁伯王子在关于天文台工作的一部者作中，也对他的首席关文学家做出了类似的良好评价：他指出，阿尔一卡西是一位非凡的科学家，其知识和技巧能够让他解决最困难的问题，阿尔一卡西在天文台最初的研究课题之一是计算出元的足够精确的值，使他能够将学宙周长的计算精确到一根马爆粗细的精度。在1424年7月完成的著作
吉亚斯丁·阿尔-卡西5《论周长》（Risalaal-muhitiyya）中，他对作出精确估计的方法给出了详细的描述假设宇宙是一个球，其半径不大于地球的60万倍，他确定了所要达到的计算精度所需的圆的周长半径比，=2元的精度是小数点后16位。阿尔-卡西改进了希腊数学家阿基米德在公元前3世纪采用的几何方法，利用这种方法，阿基米德估算出元的值在3兴—3%之间。阿基米德分别计算了一个7170圆的内接以及外切正六边形、正12、24、48和96边形的周长，用来估算该圆的周长。阿尔一卡西仍然使用了这一方法，但是他把正多边形的边数翻了28倍，即计算正3·228=805306368边形的周长。为了精确的计算每个多边形的边长，他使用了三角学的计算方法，以及在阿基米德时代所不具备的有效计算平方根的技术。阿尔一卡西利用了固的内接正多边形的边和弦之间的关系，将元的值计算到了小数点后的16位。由内接正3·2"边形的一条边（a），与它相垂直的弦（c,），以及圆的直径（d2r），可以构成一个直角三角形，阿尔一卡西便可以得到它们之间的关系式a，=V2r）2—c，同时他还推算出了公式c,=/2（2r十c-），这样就可以从弦cr-的长度推算出具有两倍边的正多边形的弦c的长度。首先从正六边形开始，用圆的半径r来表示它的弦和边长，可以得到c=r/3和ai=r。同理，我们还可以得到下面一系列的结果：
6天才的时代a2=rV2-V3C2=rV2+/3cg=rV2+V2+/3a3=r2-V2+/3c=rV2+V2+/2+V3a4=V2-V2+V2+V3等等。因为阿尔-卡西用一套颇为行之有效的方法来计算平方根，使他得以将这种计算一直进行下去，一直算到α28，再乘以边数，他就得到了半径为r的圆的内接正3·228边形的周长。通过类似的步骤，他又得到了该圆的外切正3·228边形的周长，然后求得这两个周长的平均数，作为圆的近似周长2元。他的整个计算过程是使用60进制进行的，他计算的结果表示为2元～6：16，59，28，1，3451，46，14，50。而我们可以把它用一个分数和的形式表示为：6++++++品+++50+60+602+603+60++605+605+607+608+609后来他把这一数值转化成了个10进制的小数一一小数点后一共有16位：2元~6.2831853071795865。现在看来，他的近似结果是正确的。此前，阿基米德和托勒密得到的近似值只有3位小数。6世纪的印度数学家阿耶波多（Aryabhata）和九世纪的阿拉伯数学家穆罕默德·阿尔-花刺子米（Muhammadal-Khwarizmi）也仅算到了小数点后的第4位。阿尔一卡西得到了2元的值，并进而计算得到了圆周率元的16位近似值元~3.1415926535897932。这一纪录一直保持到1596年，才被德国数学家鲁道夫·范，科伊伦（LudolphvanCeulen）所打破，他使用多项式的方法计算了60233条边的长度，将元的值确定到了小数点后的20位。方根、小数和写隆阿尔一卡西最著名的著作，要数五卷本的《算术之钥》（或《计算者之钥》（Miftahal-hisab）了，这部书对初等数学进行了汇编，用来作为大学教科书以及天文学家、土地测量员、建筑师和商人的数学指南。就像书名所反映的，阿尔-卡西在书中证明了自己通过精确计算的技术来解决各种代数、几何以及三角学问题的突出能力。这部著作所体现出的教育特色及其广泛的应用，得到了他的同时代以及后辈学者的一致称赞。这部书以及它的个叫做《《之钥）纲要》（Talkhisal-
吉亚斯丁·阿尔-卡西7Miftah）的缩写版本，被当作当时的大学教科书和人们的实用手册，并流行了好几个世纪。这套书的第一卷的书名是《关于整数的运算》。阿尔-卡西记述了-种估算数N-a"字的n次方根的常用方法一使用公式N～a+一来计算.其中α是f(a+1)"-a满足α”<N的最大的整数。在计算分母的过程中，他提出了一个通用的公式，将两项和的幂的展开式扩展到了任意的n次方。他引入了后来的所谓帕斯卡三角形，来771nna-1b+a-26+说明这一公式（a十b）=a"十a”-363十..十6中的二[2]【3]项式系数·的计算方法，并且给出了帕斯卡三角形的前9行的数123值。当时，二项式展开以及帕斯卡三角形的方法已经在中国和印度使用了数个世纪，在12世纪海亚姆的著作中还出现了相应的n次方根的公式。同他的早期的论文一样，阿尔-卡西是完全通过文字修辞来叙述他的计算方法，因为当时诸如变量以及指数之类的代数符号还没有被推行。这套书的第二卷一《关于分数的运算》，阐释了在十进制小数的符号体系下表示分数数值的方法：并且说明了使用这种小数格式进行计数的方法，可以怎样有效地进行算术运算。阿尔一卡西提出了两种符号来表示小数：一种是使用一条竖线来将整数与小数部分隔开；另一种是将分母中10的幂依次写在对应位置的小数745上。使用这种规则，则可以用比如231754或者23754来表示23+4。那时中国和印度的数学家们已经在使用小数，而在阿拉伯世界，小数也已在10310世纪时从阿布·哈柔·阿尔-乌格利迪西（Abu'lHasanal-Uqlidisi）的著作中开始出现。阿尔-卡西的贡献则在于，将十进制整数的算术运算方法同样的运用于小数。在第三卷《关于天文学计算》中，阿尔-卡西解释了使用60进制的符号体系来处理整数以及分数数值的方法。他还有力的论证了将所有数值都划分为10份的十进制体系，由于有利于人们更高效地进行运算，因而要比将所有数值都划分为60份的60进制体系优越得多。这种运用十进制小数进行运算的方法完善了印度阿拉伯计数体系的发展。在后来的两个世纪中，阿尔-卡西关于小数计算的思想发挥了它的深远影响，传播到了土耳其以及整个拜占庭帝国，一直到达西欧。直到今