282矩阵的秩 §1矩阵的初等变换 上节我们在研究用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,曾指岀行阶梯 §2矩阵的秋 矩阵所含的非零行的行数是唯一确定的,而且用初等变换把矩阵化成标 33线性方程组的解 §4初等矩阵 准形中的E的r是确定不变的,这个数γ就是矩阵的秩(rank)。例如 本章总结 上节的行阶梯形矩阵 10-104 01-100 主讲:张少 B 0001-3 的秩是3 标题页 00000 44 这个数的唯一性还未证明,但是我们用另一种说法给岀矩阵的秩的定 义,就知道秩是唯一的 定义2k阶子式在m×n矩阵A中,任取k行和k列(k≤m,k≤m),位于这些 第1页共41页 行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行 列式,称为矩阵A的k阶子式 m×n矩阵A的k阶子式共有Ch·Ck个 全屏显示
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2 §2 Ý ✡ ✛ ➑ þ✦➲❶✸ï➘❫Ð✤✶❈❺rÝ✡③↕✶✣❋✴Ý✡➜◗➁Ñ✶✣❋ Ý✡↕➵✛➎✧✶✛✶ê➫➁➌✭➼✛➜✌❹❫Ð✤❈❺rÝ✡③↕■ ❖✴➙✛Er✛r➫✭➼Ø❈✛➜ù❻êrÒ➫Ý✡✛➑↔rank↕✧⑦❳➭ þ✦✛✶✣❋✴Ý✡ B5 = 1 0 −1 0 4 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 ✛➑➫3. ù❻ê✛➁➌✺❸➍②➨➜✂➫➲❶❫✱➌➠❵④❽ÑÝ✡✛➑✛➼ ➶➜Ò⑧✗➑➫➁➌✛✧ ➼➶2 k✣❢➟ ✸m×nÝ✡A➙, ❄✒k✶Úk✎(k ≤ m, k ≤ n), ➔✉ù✡ ✶✎✂✄❄✛k 2❻✄❷,Ø❯❈➜❶✸A➙↕❄✛➔➌❣❙✌✚✔✛k✣✶ ✎➟, →➃Ý✡A✛k✣❢➟. m × nÝ✡A✛k✣❢➟✁❦C k m · C k n❻
a11a12a13a14a15 例如:矩阵 a21a22a23a24 取第2,4行和第2,4列交叉处的元 a31a32033a34a35 §1矩阵的初等 变 §2矩阵的秋 4142a44a44a45 3线性方程组的解 素(红色表示的河可以得到矩阵的一个2阶子式22024 §4初等矩阵 本章总结 定义3设在m×η矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且要么不存在r+ 1阶子式,要么所有r+1阶子式全等于0,则D称为矩阵A的最高阶非零子 主讲:张少 式数γ称为矩阵A的秩(Rank,记作R(A).规定零矩阵的秩等于0.显然, 标题页 R(A)满足0≤R(A)≤min{m,n}且R(A)=0的充要条件是A为零矩阵 44 由行列式按行(列)展开法则知,一个r+2阶子式按某行(列)展开,该行(列)每 个元素对应的代数余子式去掉符号就是一个r+1阶的子式.若所r+1阶子 第12页共41页 式全为0,那r+2阶子式也全为零,类推高于r+1阶的子式肯定全为零.因 此秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶,所以A的秩是唯一的 全屏显示 转置矩阵A的秩R(A)=R(A)
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 12 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❳: Ý✡ a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a44 a44 a45 , ✒✶2, 4✶Ú✶2,4✎✂✄❄✛✄ ❷(ùÚ▲➠✛)➀➧✚✔Ý✡✛➌❻2✣❢➟ a22 a24 a42 a44 . ➼➶3 ✗✸m × nÝ✡A➙❦➌❻Ø✤✉0✛r✣❢➟D, ❹❻♦Ø⑧✸r + 1✣❢➟,❻♦↕❦r + 1✣❢➟✜✤✉0, ❑D→➃Ý✡A✛⑩♣✣➎✧❢ ➟, êr→➃Ý✡A✛➑(Rank), P❾R(A). ✺➼✧Ý✡✛➑✤✉0. ✇✱, R(A)÷✈0 ≤ R(A) ≤ min{m, n}❹R(A) = 0✛➾❻❫❻➫A➃✧Ý✡. ❞✶✎➟❯✶(✎)Ð♠④❑⑧, ➌❻r+2✣❢➟❯✱✶(✎)Ð♠, ❚✶(✎)③ ❻✄❷é❆✛➇ê④❢➟✖❑❰ÒÒ➫➌❻r + 1✣✛❢➟. ❡↕r + 1✣❢ ➟✜➃0, ❅r + 2✣❢➟➃✜➃✧, ❛í♣✉r + 1✣✛❢➟➆➼✜➃✧. Ï ❞➑R(A)Ò➫A➙Ø✤✉0✛❢➟✛⑩♣✣, ↕➧A✛➑➫➁➌✛. ❂➌Ý✡AT✛➑R(AT ) = R(A)
例补充)设4阶方阵A其秩R(A)=2,求其伴随矩阵A*的秩 解∵R(A)=2,由矩阵秩的定义知,A的任一3阶子式均为0.从而矩 阵A的(i,j)元的代数余子式A=0,1,j=1,2,3,4.于是由伴随矩阵A的 定义知,A*=O,从而R(A*)=0 §1矩阵的初等变换 例1求矩阵A和B的秩,其中 §2矩阵的積 3线性方程组的解 2-103-2 §4初等矩阵 123 A 031-25 23-5 B 0004 471 00000 主讲:张少 解A的3阶子式是A,计算出|A|=0.,取A的一个2阶子式3≠0 标题页 故R(A)= 44 B是行阶梯形矩阵,非零行有3行,所以B的所有4阶子式全为0.取以三个 非零行的第一个非零元为对角元的3阶行列式是个上对角形行列式 第13页共41页 2-13 03-2|=24≠0 全屏显示 004 故R(B)=3
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 13 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦(Ö➾): ✗4✣➄✡A, Ù➑R(A) = 2, ➛Ù❾➅Ý✡A∗✛➑. ✮ ∵ R(A) = 2, ❞Ý✡➑✛➼➶⑧, A✛❄➌3✣❢➟þ➃0. ❧✌Ý ✡A✛(i, j)✄✛➇ê④❢➟Aij = 0, i, j = 1, 2, 3, 4. ✉➫, ❞❾➅Ý✡A∗✛ ➼➶⑧, A∗ = O, ❧✌R(A∗ ) = 0. ⑦1 ➛Ý✡AÚB✛➑, Ù➙ A = 1 2 3 2 3 −5 4 7 1 , B = 2 −1 0 3 −2 0 3 1 −2 5 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 0 . ✮ A✛3✣❢➟➫|A|, ❖➂Ñ|A| = 0, ✒A✛➌❻2✣❢➟ 1 2 2 3 6= 0, ✙R(A) = 2. B➫✶✣❋✴Ý✡, ➎✧✶❦3✶, ↕➧B✛↕❦4✣❢➟✜➃0. ✒➧♥❻ ➎✧✶✛✶➌❻➎✧✄➃é✍✄✛3✣✶✎➟➫❻þé✍✴✶✎➟ 2 −1 3 0 3 −2 0 0 4 = 24 6= 0, ✙R(B) = 3
注:若一个行阶梯形矩阵A的非零行数为r,则以这r个非零行的行一个非 零元为对角元的r阶行列式肯定是一个上三角形行列式,其值肯定不等于0 故有R(A)=r 那一个矩阵用初等变换化成行阶梯形矩阵后秩改变吗?如果不改变,我们 就可以将矩阵化成行阶梯形矩阵来计算矩阵的秩了.下面的定理证明了等 §1矩阵的初等变换 价的矩阵秩是相等的 3线性方程组的解 §4初等矩阵 定理1若A~B,则R(A)=R(B 本章总结 证先证A经一次初等行变换变为B有R(A)≤R(B) 设R(A)=T,取A的某个r非零阶子式D≠0 对三种初等行变换分别讨论,令D为一次初等行变换后B中与D1对应的 主讲:张少 子式 标题页 (1)A~B.分情况讨论 44 (a)D不含第行也不含第j行,所以D没发解变换,即D,=D,从 而R(B)≥7 第14页共41页 (b)D既含第行又含第j行,由互换行列式的两行行列式变号知,D D,从而R(B)≥7 全屏显示 (c)D只含第行和第j行中的一行若D经过偶数次的相邻行的互换变 为D有D=D,若D经过奇数次的相邻行的互换变为D有D D.均有R(B)≥T
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 14 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✺: ❡➌❻✶✣❋✴Ý✡A✛➎✧✶ê➃r, ❑➧ùr❻➎✧✶✛✶➌❻➎ ✧✄➃é✍✄✛r✣✶✎➟➆➼➫➌❻þ♥✍✴✶✎➟, Ù❾➆➼Ø✤✉0. ✙❦R(A) = r. ❅➌❻Ý✡❫Ð✤❈❺③↕✶✣❋✴Ý✡➑❯❈í? ❳❏Ø❯❈, ➲❶ Ò➀➧òÝ✡③↕✶✣❋✴Ý✡✺❖➂Ý✡✛➑✡. ❡→✛➼♥②➨✡✤ ❞✛Ý✡➑➫❷✤✛. ➼♥1 ❡A ∼ B, ❑R(A) = R(B). ② ❦②A➨➌❣Ð✤✶❈❺❈➃B❦R(A) ≤ R(B). ✗R(A) = r, ✒A✛✱❻r➎✧✣❢➟Dr 6= 0. é♥➠Ð✤✶❈❺➞❖❄Ø, ✲Dr➃➌❣Ð✤✶❈❺B➙❺Dré❆✛ ❢➟: (1) A ri↔rj ∼ B. ➞➐➵❄Ø: (a) DrØ➵✶i✶➃Ø➵✶j✶, ↕➧Dr✈✉✮❈❺, ❂Dr = Dr, ❧ ✌R(B) ≥ r. (b) Dr◗➵✶i✶q➵✶j✶, ❞♣❺✶✎➟✛ü✶,✶✎➟❈Ò⑧, Dr = −Dr, ❧✌R(B) ≥ r. (c) Dr➄➵✶i✶Ú✶j✶➙✛➌✶. ❡Dr➨▲óê❣✛❷✙✶✛♣❺❈ ➃Dr❦Dr = Dr, ❡Dr➨▲Ûê❣✛❷✙✶✛♣❺❈➃Dr❦Dr = −Dr. þ❦R(B) ≥ r